- Введены и изучены понятия локальной и нелокальной S-непрерывно-сти, а также S-липшицевости для конечно-аддитивных функций двоичного интервала (квазимер). Найдена связь между этими условиями и поведением коэффициентов и частичных сумм кратных рядов Хаара и Уолша.
- Построен класс ^/-множеств кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам. Этот класс содержит, в частности, все не более чем счетные множества, а также некоторые континульные множества определенной арифметической структуры (множества типа Дирихле). Среди последних имеются множества максимальной размерности Хау-сдорфа. Решена проблема восстановления коэффициентов кратных рядов Уолша, сходящихся вне построенных ^/-множеств.
- Построен интеграл, решающий проблему восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара из широкого, существенно нерасширяемого класса. Одним из следствий этого факта является аналог теоремы Кантора для сходящихся по 1/2-ограниченным прямоугольникам кратных рядов Хаара.
- Доказана неединственность кратных рядов Хаара при сходимости по кубам. В двумерном случае найдена граница существования единственности для сходящихся по р-ограниченным прямоугольникам кратных рядов Хаара.
- Доказана непротиворечивость некоторых построенных автором интегралов и известных обобщенных интегралов типа Хенстока-Курцвайля. В качестве следствия получены неусиляемые теоремы типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара.
- В терминах хаусдорфовых мер найдено достаточное условие (для кратных рядов Уолша) и критерий (для кратных рядов Хаара) принадлежности данного множества классу ^/-множеств при не более чем степенном росте прямоугольных частичных сумм. В качестве следствия установлен критерий принадлежности множеств канторовского типа классу множеств относительной единственности одномерных рядов Хаара из класса Вэйда. Тем самым продемонстрировано, что при естественном выборе класса рядов факт принадлежности множества классу U-mho-жеств рядов Хаара связан лишь с метрической, но не арифметической структурой этого множества.
- Построен всюду сходящийся по кубам кратный ряд Уолша, достаточно массивная подпоследовательность коэффициентов которого растет быстрее любой наперед заданной последовательности. Для кратных тригонометрических рядов подобное невозможно в силу теоремы Ко-эна. Указаны стремящиеся к нулю подпоследовательности коэффициентов сходящихся по кубам на множестве определенной меры кратных рядов Уолша.
[2] М.Г. Плотников, "О единственности всюду сходящихся кратных рядов Хаара", Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2001, № 1, 23-28.
[3] М.Г. Плотников, "О нарушении единственности для двумерных рядов Хаара", Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2003, № 4, 20-24.
[4 ] М. Г. Плотников, "Об одном интеграле перроновского типа", Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2004, № 2, 12-15.
[5 ] М. Г. Плотников, "Вопросы единственности для некоторых классов рядов Хаара", Математические заметки, 75:3 (2004), 392-404.
[6] М. Г. Плотников, "Вопросы единственности для кратных рядов Хаара", Математический сборник, 196:2 (2005), 97-116.
[7] М.Г. Плотников, "О восстановлении коэффициентов двумерных рядов Хаара", Известия вузов. Математика, 2005, № 2, 45-53.
[8 ] М. Г. Плотников, "О границе существования единственности для двумерных рядов Хаара", Известия вузов. Математика, 2006, № 7, 57-64.
[9] М.Г. Плотников, "О кратных рядах Уолша, сходящихся по кубам", Известия РАН. Серия математическая, 71:1 (2007), 61-78.
[10] М.Г. Плотников, "О множествах единственности для кратных рядов Уолша",
Математические заметки, 81:2 (2007), 265-279.
[11] М.Г. Плотников, "Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и теоремы типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара", Математический сборник, 198:7 (2007), 63-90.
[12] М. G. Plotnikov, "Recovery of the coefficients of multiple Haar and Walsh series", Real Analysis Exchange, 33:2 (2008), 291-308.
[13] M. G. Plotnikov, "Quasi-measures and Walsh Series", Facta Universitatis. Series Electronics k Energetics, 21:3 (2008), 267-273.
[14] M. Г. Плотников, "Об интегралах обобщенного римановского типа на плоскости и об одном примере двойного ряда Хаара", Математические заметки, 86:4 (2009), 601-611.
[15] М.Г. Плотников, "Квазимеры, хаусдорфовы р-меры и ряды Уолша и Хаара", Известия РАН. Серия математическая, 74:4 (2010), 157-188.
[16] М.Г. Плотников, "Квазимеры на группе Gm, множества Дирихле и проблемы единственности для кратных рядов Уолша", Математический сборник, 201:12 (2010), 131-156.