- Новая теория сходимости метода сопряженных градиентов, основанная на использовании К-числа обусловленности, и связанный с ней подход к построению предобусловливаний, основанный на минимизации К-числа обусловленности.
- Теория предобусловливания симметричных положительно определенных матриц посредством приближенных треугольных разложений 2-го порядка, с обоснованием как через К-число обусловленности, так и в терминах спектрального числа обусловленности.
- Теория предобусловливания симметричных положительно определенных матриц посредством обратных приближенных треугольных разложений, с использованием блочности, а также внутриблочной аппроксимации, с обоснованием в терминах К-числа обусловленности.
- Теоретическое объяснение несоответствия точной оптимизации спектрального числа обусловленности и получаемого качества полиномиального предобусловливания, полученное на основе анализа К-числа обусловленности; отыскание параметризации чебышевского многочлена, обеспечивающего близкое к оптимальному качество предобусловливания.
- Теория предобусловливания симметричных положительно определенных матриц посредством К-оптимальной малоранговой модификации, с обоснованием как через К-число обусловленности, так и в терминах спектрального числа обусловленности.
(перевод: A. Yu. Eremin and I. E. Kaporin, Spectral optimization of explicit iterative methods. I. Journal of Mathematical Sciences, 1987, V.36, no.2, P.207-214)
[2] Еремин А.Ю., Капорин И.Е., Марьяшкин Н.Я. Решение линейных систем большой размерности на векторных и конвейерных суперЭВМ: новый подход к оптимизации явных итерационных методов //
В кн.: Вопросы кибернетики. Конвейеризация вычислений, (под ред. О.М.Белоцерковского и В.В.Щенникова), Научный совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", Москва, 1986, С.114-124.
[3] Капорин И.Е. Альтернативный подход к оценке числа итераций метода сопряженных градиентов // В кн.: Численные методы и программное обеспечение (под ред. Ю. А. Кузнецова) - М.: ОВМ АН СССР, 1990, С.55-72.
[4] Капорин И.Е. Предобусловленный метод сопряженных градиентов для решения дискретных аналогов дифференциальных задач // Дифференциальные уравнения, 1990, Т.26, №7, С.1225 1236.
[5] Капорин И.Е. О предобусловливании и распараллеливании метода сопряженных градиентов // В кн: Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1990. С.343 355.
[6] Капорин И.Е. Итерационное решение систем линейных уравнений с использованием неполной обратной треугольной факторизации // В кн: Прямые и обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1991. С. 71-77.
(перевод: I. E. Kaporin. Iterative solution of systems of linear equations using incomplete inverse triangular factorization. Computational Mathematics and Modeling vol.4, no.l (1993) P.28-32)
[7] Капорин И.Е. Двухуровневые явные предобусловливания метода сопряженных градиентов // Дифференц. ур-ния. 1992. Т. 28. №2. С. 329 339.
[8] Kaporin, I.E. Explicitly preconditioned conjugate gradient method for the solution of nonsymmetric linear systems // Int. J. Computer Math., 1992, V.40, P.169-187.
[9] Капорин И.Е. Оценки границ спектра двусторонних явных предобусловливании // Вестн. МГУ. Вып.15. Вычисл. матем. и кибернетика, 1993. Т.2, С.28-42.
[10] Капорин И.Е. Оптимизация алгоритмов метода сопряженных градиентов. // В кн: Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 50 62. (перевод: I. E. Kaporin, Optimization of conjugate gradient algorithms, Computational Mathematics and Modeling 1994, V.5, no.2, P.139-147)
[11] Kaporin, I.E. New convergence results and preconditioning strategies for the conjugate gradient method // Numer. Linear Algebra with Appls., V.l, no.2, 1994, P.179-210.
[12] Kaporin, I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive matrix based on its UTU + UT R + RTU-decomposition // Numerical Linear Algebra Appl., 1998, V.5, P.484-509.
[13] Kaporin, I.E. Second order incomplete Cholesky preconditionings for the CG method // in: Proc. of IMMB´98, Iterative solution methods for the elasticity equations as arising in Mechanics and Biomechanics, Nijmengen, The Netherlands, Sept. 28-30, 1998, P.47-49.
[14] Еремин А.Ю., Капорин И.Е. Влияние наибольших собственных значений на численную сходимость метода сопряженных градиентов, Численные методы и вопросы организации вычислений. XIII, Зап. научн. сем. ПОМИ, 248, ПОМИ, СПб., 1998, С.5-16. (перевод: A. Yu. Yeremin and I. E. Kaporin. The influence of isolated largest eigenvalues on the numerical convergence of the CG method. Journal of Mathematical Sciences 2000, V.101, no.4, P.3231 3236)
[15] Kaporin,I.E. and Konshin,I.N. Parallel solution of large sparse SPD linear systems based on overlapping domain decomposition // in: Parallel Computing Technologies (Ed. V.Malyshkin), Proceedings of the 5th International Parallel Computing Technologies Conference (PaCT-99), St.-Petersburg, Russia, September 6-10, 1999. Lecture Notes in Computer Science, Vol. 1662, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New-York, 1999, P.436 445.
[16] Kaporin, I.E. Optimizing the UTU + UTR + i?T?7-decomposition based Conjugate Gradient preconditionings // Rep.0030, November 2000, Department of Mathematics, Catholic University of Nijmegen, Nijmegen, The Netherlands, 16p.
[17] Axelsson O., Kaporin I., Konshin I., Kucherov A., Neytcheva M., Polman В., Yeremin A. Comparison of algebraic solution methods on a set of benchmark problems in linear elasticity // Tech. Report of Department of Mathematics, University of Nijmegen, The Netherlands, 2000, 89p.
[18] Axelsson O., Kaporin I. On the sublinear and superlinear rate of convergence of conjugate gradient methods // Numerical Algorithms, 2000, V.25, P.l-22.
[19] Капорин И.Е., КОНЫНИН И.Н. Параллельное решение симметричных положительно-определенных систем на основе перекрывающегося разбиения на блоки // Журн. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 2001, Т.41, С.481-493.
[20] Axellson О., Kaporin I. Optimizing two-level preconditionings for the conjugate gradient method // Rep.0116, August 2001, Department of Mathematics, Catholic University of Nijmegen, Nijmegen, The Netherlands, 21p.
[21] Kaporin I.E. Using the Modified 2nd Order 1С Decomposition as the Conjugate Gradient Preconditioning // In: Proc. of PRISM Conference, 20-23 May. 2001, Nijmegen, The Netherlands.
[22] Kaporin I.E., Konshin I.N. A parallel block overlap preconditioning with inexact submatrix inversion for linear elasticity problems // Numerical Linear Algebra with Applications, 2002, V.9, no.2, P.141-162.
[23] Kaporin I.E. Using the Modified 2nd Order Incomplete Cholesky Decomposition as the Conjugate Gradient Preconditioning // Numerical Linear Algebra with Applications, 2002, V.9, P.401-408.
[24] Kaporin I., Konshin I.N. Parallel Conjugate Gradient Preconditioning via Incomplete Cholesky of overlapping Submatrices // In: Book of Abstracts, Parallel Computational Fluid Dynamics, May 13 15, 2003, Moscow, Russia, P.52-54.
[25] Капорин И.Е., Коныпин И.Н. Параллельное решение линейных систем при использовании приближенной факторизации перекрывающихся блоков. // В кн.: "Математическое моделирование. Проблемы и результаты." (Ред. О.М.Белоцерковский, В.А.Гущин) Наука, Москва, 2003, С.308 319.
[26] Kaporin I. Superlinear convergence in minimum residual iterations // Numerical Linear Algebra with Applications, 2005, V.12, P.453 470.
[27] Капорин И.Е., Коныпин И.Н. Постфильтрация множителей IC2-разложения для балансировки параллельного предобусловливания. // Ж. Выч. Мат. Мат. Физ., 2009, Т.49, №6, С.940-957.
[28] Kaporin I.E., Konshin I.N. Load balancing of parallel block overlapped incomplete Cholesky preconditioning. // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 5698, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009, P.304 315.