Научная тема: «ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»
Специальность: 05.13.18
Год: 2011
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Дано математическое обоснование гауссовой аппроксимации в теории произвольного случайного поля, флуктуирующего в пространстве и «времени». При помощи принципа минимума свободной энергии получены формулы для среднего и матрицы ковариации оптимального гауссового приближения. Предложен метод частичного гауссового усреднения, позволяющий учесть члены высокого порядка свободной энергии в оптимальной гауссовой аппроксимации флуктуирующего поля.
  2. На основе оптимальной гауссовой аппроксимации и её обобщений получен метод вычисления функциональных интегралов по внешнему полю, учитывающий динамику и нелокальность флуктуации. Этот метод успешно применён для математического обоснования расчётов в теории спиновых флуктуации. В частности, получены формулы для фурье-образов флуктуирующего поля и функций Грина. С их помощью доказана формула, связывающая свободную энергию с функцией Грина системы во внешнем поле. Доказаны соотношения между корреляционными функциями спиновой плотности и флуктуирующего обменного поля.
  3. Проведён качественный анализ решений системы нелинейных интегральных уравнений, определяющей оптимальную гауссову аппроксимацию в теории спиновых флуктуации. Доказана диагональность квадратичной формы оптимальной гауссовой аппроксимации в импульсно-«частотном» представлении. Проведено подробное доказательство формул для вычисления сумм по термодинамическим «частотам» в виде контурных интегралов, которые лежат в основе численной процедуры. Проведён сравнительный анализ используемых численных методов. Эффекты различных приближений теории продемонстрированы в расчётах магнитных свойств конкретных металлов и сплавов в рамках программного комплекса «MAGrROr».
  4. Для динамических моделей общего экономического равновесия разработан и реализован в виде программного модуля вариационный метод вычисления параметров потребительского сектора на основе усреднения исходных данных относительно неоднородных групп потребителей. Метод реализован и использован для расчётов в рамках экономико-энергетической модели ГЕТ. Показано, что рассчитанные характеристики для репрезентативного агента с усреднёнными параметрами находятся в хорошем согласии с совокупными характеристиками нескольких различных групп потребителей. Проведён анализ устойчивости результатов в широком диапазоне изменения значимых параметров модели. Кроме того, указан класс динамических моделей общего экономического равновесия, для которого задача об усреднении решается точно. В этом классе получены явные формулы для параметров репрезентативного агента.
  5. Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей процесс двойной диффузии, получено достоточное условие на функцию переноса, обеспечивающее существование предельного цикла. Показано, что этот цикл появляется в системе в результате мягкой потери устойчивости положения равновесия при сглаживании скачкообразно меняющейся функции переноса (негладкий аналог бифуркации Андронова-Хопфа). Подобные блочные системы используются, в частности, для изучения качественного характера температурно-солёностной циркуляции в океане и её устойчивости по отношению к изменению внешних параметров.
  6. Для управляемой системы, описываемой распределением Гурса, доказано, что достаточно малый участок любой особой траектории первого порядка доставляет слабый минимум задачи быстродействия. Более того, произвольная сингулярная кривая является особой траекторией, и любой - не обязательно малый - участок этой траектории доставляет слабый минимум. Отметим, что если особое управление оказалось граничным, то минимум в задаче является одновременно и сильным.
Список опубликованных работ
A1. Мельников Н. Б. Локализация невырожденных бифуркаций периодических решений ограниченной задачи трех тел // Вестн. МГУ, Сер. 15 ВМК. 2005. Т. 2. С. 33-38.

A2. Мельников Н. Б. Существование и единственность функции цены в многомерной модели Рамсея // Вестник МГУ, сер. 15 ВМК. 2005. Т. 3. С. 53-56.

A3. Melnikov N. B., O’Neill B. C. Learning about the carbon cycle from global budget data // Geophys. Res. Lett. 2006. Vol. 33. P. L02705 (4 pp.).

A4. Мельников Н. Б. Экстремальные свойства особенностей распределения Гурса // Успехи математич. наук. 2006. Т. 61, № 4. С. 191-192.

A5. Мельников Н. Б. Оптимальность сингулярных кривых в задаче о тягаче с п прицепами // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 19. С. 114-130.

A6. Давыдов А. А., Мельников Н. Б. Бифуркация Андронова-Хопфа в простых моделях двойной диффузии // Успехи математич. наук. 2007. Т. 62, № 2. С. 175-176.

A7. Давыдов А. А., Мельников Н. Б. Мягкая потеря устойчивости в блочной модели океанической циркуляции с турбулентными потоками // Труды Математич. инст. им. В. А. Стеклова. 2007. Т. 259. С. 10-19.

A8. O’Neill B. C, Melnikov N. B. Learning about parameter and structural uncertainty in carbon cycle models // Climatic change. 2008. Vol. 89. P. 23-44.

A9. Reser B. I., Melnikov N. B. Problem of temperature dependence in the dynamic spin-fluctuation theory for strong ferromagnets // J. Phys.: Condens. Matter. 2008. Vol. 20. P. 285205 (10 pp.).

A10. Melnikov N. B. Optimality of rectilinear motions in the problem of a tractor with n trailers // J. Mathem. Sciences. 2009. Vol. 158, no. 2. P. 249-254.

A11. Reser B. I., Grebennikov V. I, Melnikov N. B. Temperature Hysteresis in the Dynamic Spin-Fluctuation Theory for Strong Ferromagnets // Solid State Phenom. 2009. Vol. 152-153. P. 579-582.

A12. Reser B. I., Melnikov N. B., Grebennikov V. I. Beyond Gaussian approximation in the spin-fluctuation theory of metallic ferromagnetism // J. Phys.: Confer. Ser. 2010. Vol. 200. P. 012163 (4 pp.).

A13. Melnikov N. B., Reser B. I., Grebennikov V. I. Spin-fluctuation theory beyond Gaussian approximation // J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. P. 195004 (19pp).

A14. Мельников Н. Б., Резер Б. И. Оптимальное гауссово приближение в теории флуктуирующего поля // Труды Математич. инст. им. В. А. Стек-лова. 2010. Т. 271. С. 159-180.

A15. Melnikov N. B., O’Neill B. C, Dalton M. G. Consumer aggregation in dynamic general equilibrium models with CES utility functions // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 289-296.

A16. Мельников Н. Б., О’Нилл Б. К., Дальтон М. Г. Учёт неоднородности потребителей в динамических моделях общего экономического равновесия // Математич. теория игр и её приложения. 2010. Т. 2, № 4. С. 52-73.

A17. Melnikov N. B., Reser B. I., Grebennikov V. I. Extended dynamic spin-fluctuation theory of metallic magnetism // J. Phys.: Condens. Mater. 2011. Vol. 23. P. 276003 (11 pр.).

A18. Мельников Н. Б. Сингулярные возмущения однократных порождающих орбит ограниченной задачи трех тел // Нелинейная динамика и управление. Вып. 4 / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физ-матлит, 2004. С. 295-308.

A19. Melnikova I, Filinkov A., Melnikov N. Price models and equations for the interest rates term structure // Intern. school-symposium “Analysis, modeling, control, development of economical systems”. Sevastopol, Ukrain: 2007. P. 224-228.

A20. Melnikov N. B., Reser B. I. Instability analysis for the system of nonlinear equations of the dynamic spin-fluctuation theory // Proceedings of Dynamic Systems and Applications. Vol. 5. Atlanta GA, USA: Dynamic Publishers, Inc., 2008. P. 312-316.

A21. Мельников Н. Б. Непрерывная деформация модели Рамсея к модели с перекрывающимися поколениями // Труды 6-ой всероссийской конф. «Математич. моделирование и краевые задачи». Т. 2. Самара: СамГТУ, 2009. С. 107-110.

A22. Мельников Н. Б., О’Нилл Б. К., Дальтон М. Г. Учёт неоднородности потребительских предпочтений в моделях экономического роста // Проблемы динамического управления. Вып. 5. / Под ред. Ю. С. Осипова, А. В. Кряжимского. М.: ВМК МГУ, 2010. С. 166-179.

A23. Резер Б.И. Мельников Н.Б. Программный комплекс "MAGPROP"для расчета магнитных свойств переходных металлов и сплавов в рамках теории спиновых флуктуаций. Отраслевой фонд электронных ресурсов науки и образования. Свидетельство об отраслевой регистрации электронного ресурса № 17257 от 12.07.2011 г.

A24. Мельников Н. Б. Сингулярные возмущения некоторых порождающих периодических орбит ограниченной задачи трех тел: Деп. ВИНИТИ 2257–B2003. М.: МГУ, 2003. (15 c.).

A25. Melnikov N. Robust stabilization of atmospheric carbon within a family of uncertain carbon cycle dynamics: Interim Report IR-04-053. Laxenburg, Austria: IIASA, 2004. (12 pp.).

A26. Kryazhimskiy A., Melnikov N. A robust stabilization technique for uncertain models of global carbon cycle // Applied Analysis and Synthesis of Complex Systems / Ed. by T. Sawaragi, K. Tsuchiya, M. Makowski. Interim Report IR-04-072. Laxenburg, Austria: 2004. P. 100-105.

A27. Davydov A. A., Melnikov N. B. Existence of self-sustained oscillations in an ocean circulation box model with turbulent fluxes: Interim Report IR-06-049. Laxenburg, Austria: II AS A, 2006. (5 pp.).

A28. Melnikov N. B., Sanderson W. Intergenerational transfers as a link between overlapping generations and Ramsey models: Interim Report IR-07-013. Laxenburg, Austria: IIASA, 2007. (10 pp.).

A29. Melnikov N. B., O’Neill B. C, Dalton M. G. Accounting for the household heterogeneity in general equilibrium models: Interim Report IR-09-051. Laxenburg, Austria: IIASA, 2009. (22 pp.).

A30. Мельников Н. Б. Особенности 2£>-многообразия периодических решений ограниченной задачи трех тел // Тезисы всероссийск. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2004. С. 199-200.

A31. Мельников Н. Б. Сингулярные возмущения периодических решений ограниченной задачи трех тел // Тезисы всероссийск. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2004. С. 354-355.

A32. Melnikov N. B. Optimal singular trajectories for the Goursat distribution // Abstr. Intern. Confer. on Dynamical Systems and Differential Equations / VlGU. Vladimir, Russia: 2006. P. 281-283.

A33. Мельников Н. Б. Оптимальные особые траектории неголономных систем // Прогр. и аннот. докл. научн. семинара «Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений» / Математич. инст. им. В. А. Стеклова. Москва: 2006. С. 30-31.

A34. Melnikov N. B. Optimality for horizontal paths in the singular locus of the Goursat distribution // Abstr. Intern. Congress of Mathematicians / European Math. Union. Madrid, Spain: 2006. P. 545.

A35. Давыдов А. А., Мельников Н. Б. Бифуркация рождения цикла в системе ОДУ с разрывной правой частью // Прогр. и аннот. докл. научн. семинара «Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений» / Математич. инст. им. В. А. Стеклова. Москва: 2006. С. 15-16.

A36. Davydov A. A., Melnikov N. B. Limit cycle oscillations in thermohaline circulation box model with turbulent fluxes // Abstracts EQUADIFF / TU. Vienna, Austria: 2007. P. 94.

A37. Davydov A. A., Melnikov N. B. Limit cycle bifurcation in thermohaline convection box-model // Abstracts of Intern. Confer. “Analysis and singularities” / Steklov Mathematical Institute. Moscow, Russia: 2007. P. 133-134.

A38. Мельников Н. Б. Особые оптимальные траектории распределений Гурса // Конкурс научных работ молодых учёных МГУ им. М.В. Ломоносова: Сборник рефератов / Под ред. Фомичёв В.В. Ильин А.В. М.: МГУ, 2007. С. 26-28.

A39. Резер Б. И., Мельников Н. Б. Анализ неустойчивости системы нелинейных уравнений теории спиновых флуктуаций с приложением к инвару Feo.65Nio.35 // XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка», тезисы докладов / ИФМ УрО РАН. Новоуральск, Свердловская обл.: 2008. С. 69.

A40. Reser B. I., Grebennikov V. I, Melnikov N. B. Temperature hysteresis singularities of hysteresis type in the dynamic spin-fluctuations theory // Abstracts of Moscow International Symposium of Magnetism / MSU. Moscow, Russia: 2008. P. 529-530.

A41. Melnikov N. B., Reser B. I., Grebennikov V. I. Singularities of hysteresis type in the dynamic spin-fluctuations theory // Abstracts of Intern. Confer. “Differential equations and Topology” / MSU. Moscow, Russia: 2008. P. 269-270.

A42. Melnikov N. B., Reser B. I. Numerical solution of nonlinear systems in the dynamic spin-fluctuations theory // Abstracts of Intern. Confer. “Algorithmic analysis of unstable problems” / IMM RAS. Ekaterinburg, Russia: 2008. P. 249-250.

A43. Melnikov N. B., O’Neill B. C, Dalton M. G. Aggregation in dynamic equilibrium models of economic growth with CES functions // Abstracts of Intern. Confer. “Actual Problems of Stability and Control Theory” / IMM RAS. Ekaterinburg, Russia: 2009. P. 176-178.

A44. Reser B. I., Melnikov N. B., Grebennikov V. I. Beyond Gaussian approximation in the spin-fluctuation theory // Abstracts of Intern. Confer. on Magnetism / KIT. Karlsruhe, Germany: 2009. P. 224.

A45. Melnikov N. B., Reser B. I., Grebennikov V. I. Dynamic Spin-Fluctuation Theory beyond Gaussian Approximation with Application to FeNi Invar // Abstract of Intern. Confer. EASTMAG-2010: Nanospintronics / Inst. Metal Phys. RAS. Ekaternburg, Russia: 2010. P. 150.