Раскрываются приложения этой задачи к проблемам математической экономики. Сама задача о максимизации интегральных функционалов совпадает с проблемой моделирования такого планирования производства, при котором минимизируются суммарные издержки на хранение и и штрафы за недопроизводство продукции, а дуальная задача представляет из себя вариант транспортной задачи Канторовича - Монжа.
Вводится понятие нового вида перестановки суммируемых функций - экстремальной ш-перестановки, в терминах которой выражается числовое решение задачи максимизации функционалов. Проясняются разнообразные отношения между стандартными убывающими перестановками, S-перестановками Корнейчука и экстремальными ^-перестановками.
Для получения графических интерпретаций свойств решений дискретной задачи максимизации функционалов вводится новое понятие графа перестановок и изучаются структурные особенности этих графов: свойства гамильтоновости и эйлеровости, наличие графов перестановок с фиксированным циклом в терминах отношения Харди - Литтлвуда -Полиа для вершин цикла. Устанавливается тесная связь между свойствами экстремальных векторов дискретной задачи максимизации функционалов и графов перестановок. В частности, единственность решения задачи максимизации функционалов оказывается эквивалентной связности графа перестановок.
2. Характеризуются экстремальные функции - эйлеровы, чебышевские, золотаревские ш-сплайны - в точных неравенствах Колмогорова - Ландау для промежуточных произ водных в классах WrHu(I) в случае прямой I = Е, полупрямой I = Е+, отрезкa при ограничениях в равномерной метрике и метрике Lp. Тем самым известные результаты А. Н. Колмогорова, В. М. Тихомирова, И. Дж. Шенберга и А. С. Каваретты, С. Карлина, А. Пинкуса, Г. Г. Магарил-Ильяева в данной тематике обобщаются со случая соболев ских классов, соответствуюших линейному модулю непрерывности ш, на случай классов WrНШ для произвольного нелинейного выпуклого ш.
Кроме того, подобные обобщения результатов на нелинейный случай сделаны и в ряде наиболее важных частных случаев постановок этих задач: Ландау и Адамара (первая производная), Стечкина и Маторина (вторая производная), экстраполяционной задачи Маркова для равномерной метрики, Фуллера - Габушина - Магарил-Ильяева в метрике Lp.
3. Приводится полное описание экстремальных траекторий общей задачи линейной ди намики для управлений из класса WrHu - обобщения одной из наиболее известных задач классического оптимального контроля, поставленной в случае линейного ш.
Кроме того, детально разбираются три важных частных случая этой задачи: задача быстродействия Фельдбаума - Бушо, задача Ляпунова о структуре множества значений векторных мер и общая задача Колмогорова о геометрическом месте значений промежуточных производных. Как и при решении других проблем, устанавливается ряд новых феноменов, присущих решениям задачи линейной динамики только в случае нелинейных модулей непрерывности ш: существование некритических областей неединственности на границе множества достижимости и наличие лишь конечного множества точек Беллмана, удовлетворяющих принципу динамического программирования.
4. При рассмотрении выпуклого функционального класса в качестве множества допустимых управлений демонстрируется, что необходимое условие оптимальности принимает форму интегрального принципа максимума. На примере класса Нш как множества таких управлений показано, каким образом этот принцип может использоваться для определения экстремальных функций как в вышеперечисленных задачах Колмогорова - Ландау для производных или задаче линейной динамики, так и в некоторых прикладных задачах финансовой математики, в частности, торговых моделях товарно-сырьевого и фондового рынков.
2.Экстремальные функции интегральных функционалов в Нш[а,Ь], Известия РАН, Серия Математическая 63:2 (1999), 3-62.
3.Zolotarev ш-polynomials in WrНш, J. Approximation Theory 90:3 (1997), 340-378.
4.Свойства и-перестановок, Функциональный Анализ и Его Приложения 33:3 (1999), 1-20.
5.Generalizations of the time-optimal problem and Lyapunov theorem on the range of vector measures, J. Approximation Theory 147:1 (2007), 81-111.
6.Общая конструкция чебышевских ш-сплайнов с данной нормой, Алгебра и Анализ 10:6 (1998), 93-134.
7.Extremal problems in generalized Sobolev classes, Analysis of divergence: control and management of divergent processes (Orono, ME, 1997), Appl. Numer. Harmon. Anal., Bur-khauser Boston, MA, (1999), 327-357.
8.Неравенства Колмогорова для функций из классов WrНш с ограниченной нормой Ьр, Известия РАН, Серия Математическая 74:2 (2010), 5-64.
9.Chebyshev Splines and Kolmogorov Inequalities, Series: Operator Theory: Advances and Applications, vol. 105 Birkhauser: Basel, Boston, Berlin. (1998) xiv+207 pp.
10.Kolmogorov problem in WrHu[0,1] and extremal Zolotarev ш-splines, Dissertationes Mathematicae, vol. 379, IMPAN, Warsaw, (1998) iii+81 pp.