1. До сих пор разрешимость задачи Коши для исследуемых дифференциально-разностных уравнений была установлена в весовых соболевских классах (существование сильных решений).
В диссертации доказано существование классического решения, т.е. решения, обладающего всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющего уравнению поточечно в полупространстве RTM х (0, +оо), а начальному условию - в смысле одностороннего предельного соотношения при t -> +0 (поточечно в пространстве R"). Построен аналог фундаментального решения и доказано, что его свертка с любой непрерывной ограниченной начальной функцией определена во всем полупространстве Rn x (0, +оо) и удовлетворяет (в указанном классическом смысле) исследуемой задаче Коши. Доказано, что указанная свертка ограничена в слое RTM х [0, Т] для любого положительного Т, а значит, полученное решение единственно в классе функций, ограниченных в слое RTM х [0, Т] для любого положительного Т.
2. Результатами изучения качественных свойств полученных классических решений являются теоремы об их близости к решениям «эталонных» дифференциальных параболических уравнений (уравнений, для которых асимптотические свойства решений хорошо изучены). Ранее такоеисследование было невозможно, поскольку указанные теоремы о близостиявляются утверждениями о поведении решений на многообразиях малых размерностей (вплоть до одномерных многообразий), а существование следа на таком многообразии не может быть гарантировано вообще говоря, даже, для сильного решения.
В диссертации показано, что имеют место два принципиально различных случая: случай, когда нелокальными являются только члены нулевого порядка в уравнении (т.е. операторы сдвига действуют только на саму неизвестную функцию, но не на ее производные), и случай, когда нелокальными являются все члены уравнения (включая старшие производные). В первом случае по коэффициентам исходного параболического дифференциально-разностного уравнения строится вспомогательный дифференциально-разностный оператор, который затем исследуется на сильную эллиптичность в пространстве Rn: если она имеет место, то доказывается теорема о (весовой) близости решений, заключающаяся в равенстве нулю, при каждом фиксированном x из Rn, предела, здесь константы >c,pi,... ,pn, </i,..., qn определяются коэффициентами исходного дифференциально-разностного параболического уравнения, u(x,t) - исследуемое классическое решение, а v(x,t) - классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией v0(x) = u0(pix1,...,pnxn), где м0(ж) - начальная функция задачи Коши для исходного дифференциально-разностного параболического уравнения. Отметим, что в случае дифференциальных параболических уравнений подобный эффект преобразования аргумента «эталонного» решения наблюдается только при наличии в уравнении младших членов первого порядка, в то время как исследуемое дифференциально-разностное параболическое уравнение содержит только младшие члены нулевого порядка.
В случае, когда нелокальными являются члены любого порядка, ключевую роль играет сильная эллиптичность дифференциально-разностного оператора в правой части исходного дифференциально-разностного параболического уравнения: она обеспечивает и классическую разрешимость, и справедливость теорем о близости решений. В качестве «эталонного» уравнения в данном случае выступает дифференциальное параболическое уравнение, полученное из исходного функционально-дифференциального уравнения обнулением всех сдвигов.
Отметим, что, как и в случае ограниченной области (см. §9 монографии), сильная эллиптичность дифференциального и дифференциально-разностного операторов различаются существенным образом.
3. Для сингулярных функционально-дифференциальных параболических уравнений, в которых по нескольким пространственным переменным (особые переменные) действуют операторы Бесселя и соответствующие им операторы обобщенного сдвига, а по остальным пространственным переменным (неособые переменные) - вторые производные и операторы сдвига, рассматривается задача в сегменте пространства, в котором время и все особые пространственные переменные положительны. На гиперплоскости {t = 0} задается обычное начальное условие, а на остальных граничных гиперплоскостях (т.н. особые гиперплоскости) - равенство нулю первой производной по соответствующей (нормальной) особой переменной (эти условия называются условиями четности). Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения указанного вида ранее не изучались, а для сингулярных дифференциальных параболических уравнений указанная задача (называемая сингулярной задачей Коши) исследовалась в (см. также имеющуюся в этих работах библиографию).
В диссертационной работе доказано, что классическое решение исследуемой задачи, т.е. решение, обладающее всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющее уравнению в области поточечно, а условиям на граничных гиперплоскостях -в смысле одностороннего предельного соотношения, существует. Найден аналог фундаментального решения и получено интегральное представление решения задачи Коши в виде его обобщенной свертки с (непрерывной и ограниченной) начальной функцией (в обобщенной свертке по особым переменным вместо операторов сдвига действуют соответствующие операторы обобщенного сдвига, а мера Лебега заменяется на соответствующую весовую вырождающуюся меру). Установлен класс единственности решения. Доказана неклассическая (весовая асимптотическая) близость найденного решения и решения сингулярной задачи Коши для соответствующего сингулярного дифференциального параболического уравнения.
1.Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых дифференциально-разностных уравнений параболического типа // Доклады РАН. 2002. Т.385. № 5. С. 604–607.
2.Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 4. С. 538–548.
3.Муравник А. Б. О стабилизации решений некоторых сингулярных квазилинейных параболических задач // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 6. С. 858–865.
4.Муравник А. Б. Об однозначной разрешимости задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2004. Т. 40. № 5. С. 692–701.
5.Муравник А. Б. О единственности решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2004. Т. 40. № 10. С. 1385–1389.
6.Муравник А. Б. On properties of the stabilization functional of the Cauchy problem for quasilinear parabolic equations // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2004. Т. 12. № 2. С. 133–137.
7.Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 3. С. 308–310.
8.Муравник А. Б. Об асимптотике решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2005. Т. 41. № 4. С. 538–548.
9.Муравник А. Б. Об асимптотике решений некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Труды Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. С. 143–183.
10.Muravnik A. B. Properties of stabilization functional for parabolic Cauchy problem // Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 2000. V. 42. P. 217–221.
11.Muravnik A. B. On Cauchy problem for parabolic differential-difference equations // Nonlinear Anal. 2002. V. 51. № 2. P. 215–238.
12.Muravnik A. B. On non-classical Cauchy problem for singular parabolic integrodifferential equations // Rus. J. Math. Phys. 2002. V. 9. № 3. P. 300–314.
13.Muravnik A. B. On stabilisation of solutions of singular quasi-linear parabolic equations with singular potentials // Fluid Mech. Appl. 2002. V. 71. P. 335–340.
14.Muravnik A. B. On the Cauchy problem for differential-difference parabolic equations with high-order nonlocal terms of general kind // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2006. V. 16. № 3. P. 541–561.
15.Muravnik A. B. On non-classical Cauchy problem for parabolic functional-differential equations with Bessel operators // Funct. Differ. Equ. 2006. V. 13. № 2. P. 225–256.
Тезисы международных конференций
16.Muravnik A.B. On properties of stabilization operator arised in mixed parabolic problems. Abstr. of International Conference on Mathematical Analysis and its Applications. Kaohsiung. 2000. P. 54-55.
17.Muravnik A.B. On stabilization of Cauchy problem solutions for non-linear parabolic equations with Bessel operator. Abstr. of Colloquium on Differential and Difference Equations. Brno. 2000. P. 51.
18.Muravnik A.B. On properties of stabilization operator arising in diffusion models. Abstr. of International Functional Analysis Meeting on the Occasion of the 70th Birthday of Professor Manuel Valdivia. Valencia. 2000. P. 94-95.
19.Muravnik A.B. On stabilization of positive solutions of singular quasi-linear parabolic equations. Abstr. of the Second International Conference on Stability and Control for Transforming Nonlinear Systems. Moscow. 2000. P. 33.
20.Muravnik A.B. On fundamental solutions of parabolic differential-difference equations. Abstr. of the Second International Conference "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations". Minsk. 2001. P. 117-118.
21.Muravnik A.B. Fundamental solutions and Cauchy problemsolvability for parabolic differential-difference equations. Abstr. of InternationalConference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100thAnniversary of I.G. Petrovskii. Moscow. 2001. P. 284.
22.Muravnik A.B. On Cauchy problem for quasi-linear singular parabolic equations with singular potentials. Abstr. of IUTAM Symposium on Tubes, Sheets and Singularities in Fluid Dynamics. Zakopane. 2001. P. 51.
23.Muravnik A.B. On large-time behaviour of Cauchy problem solutions for parabolic differential-difference equations. Abstr. of the Third International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow. 2002. P. 77-78.
24.Muravnik A.B. On function-theory aspects of quasi-linear stabilization problems. Abstr. of International Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". Moscow. 2003. P. 72-73.
25.Muravnik A.B. On non-classical Cauchy problem for singular parabolic functional-differential equations. Abstr. of the Third International Conference "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations". Minsk. 2003. P. 129-130.
26.Muravnik A.B. Long-time behavior of the Cauchy problem solutions for differential-difference parabolic equations with nonlocal high-order terms. Abstr. of the 21st International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to I. G. Petrovskii. Moscow. 2004. P. 144-145.
27.Muravnik A.B. On asymptotic closeness of solutions of differential and differential-difference parabolic equations. Abstr. of the 22st International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the memory of I. G. Petrovskii. Moscow. 2007. P. 204.