- Получены нижние оценки плотности стационарного распределения диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной ре гулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограниче ний на рост этого коэффициента.
- Получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.
- Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова: получены достаточные условия единственности и построены примеры неединственности.
- Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова: построены примеры неединственности и получены достаточные условия единственности.
- Получены верхние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположений об ограниченности коэффициента сноса.
[2] Шапошников СВ. О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. Докл. РАН, 2011, т. 439, п 3, с. 331-335.
[3] Шапошников СВ. Регулярность и качественные свойства решений параболических уравнений для мер. Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 56, п 2, с. 271-290.
[4] Шапошников СВ. Оценки решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2010, т. 434, п 4, с. 454-458.
[5] Шапошников СВ. Нижние оценки плотностей решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2009, т. 429, п 5, с. 600-604.
[6] Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников СВ. О вероятностных и интегрируемых решениях стационарного уравнения Колмогорова. Докл. РАН 2011, т. 438, п 2, с. 154-159. (СВ. Шапошникову принадлежат лемма 1, теоремы 1, теоремы 2 и 3 в общем случае, теоремы 4 и 5, А.И. Кириллову принадлежат постановка задачи, замечание 1, пример 2, теорема 1 в случае градиентного сноса, В.И. Богачеву принадлежит теорема 3 в одномерном случае.)
[7] Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников СВ. Нижние оценки плотностей решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2009, т. 426, п 2, с. 156-161. (СВ. Шапошникову принадлежат лемма 2, теоремы 1 и 2, В.И. Богачеву принадлежат лемма 1, пример 2, М. Рёкнеру принадлежат постановка задачи и пример 1.)
[8] Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников С В. Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 2008, т. 53, п 2, с. 213-239. (СВ. Шапошникову принадлежат теоремы 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 4.3, леммы 3.1, 3.2, В.И. Богачеву принадлежит постановка задачи, теоремы 2.1, 2.2, замечание 3.1, пример 4.2 М. Рёкнеру принадлежат следствие 2.1, 2.2, теорема 2.3 и пример 4.1.)
[9] Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников СВ. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 52, п 2, с. 240-270. (СВ. Шапошникову принадлежат следствия 2.1, 3.1, 3.2, теоремы 2.1, 2.2,2.5, 3.1, 3.2; В.И. Богачеву принадлежат общая постановка задач и следствие 2.1, пример 3.1, пример 3.2, предложение 3.1; М. Рёкнеру принадлежат теорема 3.3, следствие 3.3, следствие 3.4, пример 3.3, при мер 3.4).
[10] Богачев В.И., Рекнер М., Шапошников СВ. Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примен. 2005, т. 50, п 4, с. 652-674. (СВ. Шапошникову принадлежат теоремы 2.1, 3.1, 3.2, леммы 3.1 и 3.2, Рёкнеру М. принадлежат постановка задачи, замечания 3.1 и 3.2, Богачеву В.И. принадлежат теоремы 2.2, 3.3, пример 3.4)
Кроме того, по теме диссертации автором опубликованы следующие работы:
[11] Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников СВ. Инвариантные меры диффузий с градиентным сносом. Докл. РАН 2010, т. 434, п 6, с. 731-734.
[12] Агафонцев Б.В., Богачев В.И., Шапошников СВ. Условия положительности плотности инвариантной меры. Докл. РАН, 2011, т. 438, п 3, с. 295-299.
[13] Шапошников СВ. О единственности интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Тезисы международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» посвященной 110-й годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского, МГУ, 2011, с. 390-391.
[14] Шапошников СВ. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Тезисы докладов Российской школы конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», М.: РУДЫ, 2009, с. 74-75.
[15] Шапошников СВ. Стационарное уравнение А.Н. Колмогорова с градиентным коэффициентом сноса. Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика Сергея Михайловича Никольского. МГУ имени М.В. Ломоносова, 2010, с. 58.