- Получено положительное решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности нильиндекса радикала Джекобсона относительно свободной ассоциативной алгебры произвольного ранга над бесконечным полем характеристики р > 0 (теорема1).
- В процессе решения этой проблемы теорема Размыслова-Прочези о тождествах со следом матричных алебр для алгебры матриц порядка < p перенесена с полилинейного уровня на общий полиоднородный (теорема 6). В общем случае описан базис тождеств с формами алгебры матриц произвольного порядка (теорема 4). Доказана ослабленная конечная базируемость идеала обычных тождеств алгебры матриц (теорема 3). В случае n < p доказан ее более специальный вариант (теорема 7).
- Получен положительный ответ на вопрос А.Р. Кемера о матричном типе нерегулярных первичных многообразий над полем характеристики p > 0: любое первичное многообразие матричного типа k при всех достаточно больших p является регулярным (теорема 8).
- Получен аналог теоремы Левицкого об ограниченности нильиндекса нильагебр для бесконечно порожденных PI-алгебр над полем положительной характеристики (теорема 9).
- Получено частичное решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности степени алгебраичности носителей многообразий над бесконечным полем положительной характеристики в классе первичных многообразий (теорема 10 и следствие 4). Аналогичный результат получен для энге-левых многообразий (теорема 11).
- Исследован вопрос об унитарной замкнутости первичных многообразий над бесконечным полем на общем полиоднородном уровне: показано, что произвольное первичное многообразие или унитарно замкнуто, или удовлетворяет некоторому нильтождеству (теорема 13).
- Доказано, что энгелевы первичные многообразия остаются первичными при дополнительном наложении нильтождества достаточно высокой примарной степени (теорема 14). Описаны первичные подмногообразия многообразия Ю.П. Размыслова, впервые построенного им в качестве контрпримера к проблеме глобальной нильпотентности (p-2)-энгелевых алгебр Ли (теорема 15).
- Над бесконечным полем характеристики p = 2 описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия V ar(M1,1) (теорема 16). В этом многообразии на полилинейном уровне доказана теорема о разложении произвольного многообразия в подпроизведение наибольшего полупервичного подмногообразия и нильпотентного (теорема 17).
[2] Л.М. Самойлов, “О радикале относительно свободной ассоциативной алгебры над полями положительной характеристики”, Матем. сборник, 199:5 (2008), 81-126.
[3] Л.М. Самойлов, “Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциативных алгебр”, Матем. заметки, 86:1 (2009), 151-153.
[4] Л.М. Самойлов, “Алгебраические алгебры и первичные многообразия ассоциативных алгебр”, Матем. сборник, 200:5 (2009), 99-128.
[5] Л.М. Самойлов, “Аналог теоремы Амицура-Левицкого для матричных супералгебр”, Сиб. матем. журн., 51:3 (2010), 620-625.
[6] Л.М. Самойлов, “Об унитарной замкнутости первичных многообразий ассоциативных алгебр”, Сиб. матем. журн., 51:4 (2010), 712-722.
[7] Л.М. Самойлов, “О полилинейных компонентах первичных подмногообразий многообразия Var(M1,1)”, Матем. заметки, 87:6 (2010), 919-933.