Парватов Николай Георгиевич

1. Установлены условия, при которых в различных пространствах заданные или произвольные конечно порождаемые классы имеют конечные нижние окрестности; условия при которых замкнутые классы допускают эффективные в приложениях способы задания - конечными запрещающими множествами в преду-порядоченных пространствах и конечными описаниями в пространствах с замыканием Галуа. Введены в рассмотрение сильно предупорядоченные пространства. Доказано, что в финитарных таких пространствах конечно порождаемые подмножества имеют конечные нижние окрестности, классы которых обладают конечными запрещающими множествами. Установлена сильная предупорядоченность ряда функциональных и логических пространств, в том числе пространства переключательных функций с ^-замыканием. Построена теория Галуа для переключательных функций с ^-замыканием, описывающая его как замыкание Галуа.
2. Исследованы проблемы эффективного задания клонов и их конечной порождаемости. Выделено новое семейство конечно порождаемых клонов - включающих конечно порождаемый d- или произвольный (с, б?)-подклон при натуральном с. Построены примеры и предложены конструкции таких клонов. Клоны с (с, d)-подклонами охарактеризованы свойствами инвариантных предикатов. Установлена возможность (с, г)-разложений клона над (с, <з?)-подклоном (где с - натуральное или оо), известная ранее лишь при с = 0. Найдены предикатные и-описания ряда клонов, в том числе клонов квазимонотонных и слабо существенных квазимонотонных функций, а также монотонных частей этих клонов. Поставлена задача выделения максимальных клонов в множествах точечных и минимальных точечных функций на полурешётке, построены примеры таких клонов на полурешётке интервалов решётки. Явно описаны классы троичных функций, вычисляемых в каноническом базисе формулами различного вида. Предложен метод формульного представления минимальных точечных функций на дистрибутивной точечной полурешётке в базисах, содержащих все одноместные минимальные точечные функции и некоторый набор специальных двухместных функций.
3. Установлен ряд условий максимальности подклона в клоне, при помощи которых проблема полноты решена в ряде случаев. В том числе, доказаны необходимые и достаточные условия максимальности произвольных и слабо центральных подклонов, заданных расширенными и-описаниями. На основе этого в слабо центральном клоне, задаваемом наследственной системой множеств, явно описаны все максимальные подклоны, включающие все слабо существенные функции. Тем самым, в частности, решены проблемы полноты при суперпозиции со слабо существенными функциями в клонах квазимонотонных функций на полурешётке и в (предполных) клонах, описываемых центральными симметричными и одновременно вполне рефлексивными предикатами, отличными от диагоналей. Найдена асимптотика мощности построенной критериальной системы в случае полурешётки всех непустых подмножеств k-элементного множества. В случае трёхэлементной полурешётки решены проблемы: выразимости множества минимальных точечных функций в клоне монотонных функций, полноты в клонах монотонных и квазимонотонных функций.

[2] Агибалов Г.П., Парватов Н.Г. О полноте систем монотонных функций для реализации квазимонотонных функций на конечных полурешётках // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. 2002. Т. 9. № 4. С. 5–22.

[3] Парватов Н.Г. Функциональная полнота в замкнутых классах квазимонотонных и монотонных трёхзначных функций на полурешётке // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. 2003. Т. 10. № 1. С. 61–78.

[4] Парватов Н.Г. Замечания о конечной порождаемости замкнутых классов многозначных функций // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. 2004. Т.11. №3. С.32–47.

[5] Парватов Н.Г. Теорема о функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешётке // Дискретный анализ и исследование операций. Сер.1. 2006. Т.13. №3. С.62–82.

[6] Парватов Н.Г. Наследственные системы дискретных функций // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2007. Т.14. №2. С.76–91.

[7] Парватов Н.Г. Клоны с мажоритарной функцией и их обобщения // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. Т.17. №3. С. 46–60.

[8] Парватов Н.Г. Проблемы выразимости в решётке с замыканием // Дискретная математика. 2010. Т.22. В.4. С.83–103.

[9] Парватов Н.Г. О выделении максимальных подклонов // Прикладная дискретная математика. 2011. №1. С.14–25.

[10] Парватов Н.Г. Проблема нижних окрестностей в пространствах с замыканием и теорема о финитарности // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. №2. С.65–70.

[11] Парватов Н.Г. О нахождении максимальных подклонов слабо центрального клона // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. Т. 18. № 5. С. 80 – 97.

[12] Парватов Н.Г. Конструкция максимального клона точечных функций на полурешётке интервалов // Прикладная дискретная математика. 2011. №4. С.5–10.

[13] Парватов Н.Г. О полноте систем монотонных функций для реализации квазимонотонных функций на конечных полурешётках // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур. Доклады третьей Всероссийской конференции с международным участием. (Томск, 2000 год) Научное издание. Томск: ТНЦ СО РАН, «Спектр», 2000. С. 70-74.

[14] Парватов Н.Г. О полноте в классе квазимонотонных функций на конечных полурешётках // Материалы VII Международного семинара «Дискретная математика и её приложения» (Москва, 2001 г.). Часть I. М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001. С. 114-117.

[15] Парватов Н.Г. К синтезу комбинационных схем с заданным динамическим поведением из элементов произвольной функционально полной системы // Автоматизация проектирования дискретных систем. Материалы 4-й международной конференции (Минск, 2001 год). Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 2001. Т.2. С. 74-77.

[16] Парватов Н. Г. Функциональная полнота в классах квазимонотонных и монотонных функций на трехэлементной полурешетке // Материалы XIII Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Часть I, II. М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2002. С. 143-144.

[17] Парватов Н.Г. О функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешётке // Материалы XV Международной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем» (Новосибирск, 18-23 октября 2004 г.). Под редакцией О. Б. Лупанова. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004. С. 65-67.

[18] Парватов Н.Г. О формах представления монотонных и квазимонотонных функций на трёхэлементной полурешётке // Материалы IX Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», посвящённого 75-летию со дня рождения О. Б. Лупанова (Москва, 18-23 июня 2007 г.). Под редакцией О. М. Касим-Заде. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007. С. 170-173.

[19] Парватов Н.Г. Проблема выразимости в полной решётке с замыканием // Материалы XVII Международной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем» (Новосибирск, 27 октября - 1 ноября 2008 г.). Под редакцией О. Б. Лупанова. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2008. С. 127-130.

[20] Парватов Н.Г. О некоторых свойствах операции замыкания, связанных с проблемами выразимости // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. №3. С. 119-124.

[21] Парватов Н.Г. Проблемы полноты и выразимости дискретных функций // Прикладная дискретная математика. 2009. №2. С.56–78.

[22] Парватов Н.Г. Нижние и верхние окрестности в множестве с замыканием // Прикладная дискретная математика. 2009. №3. С.5–14.

[23] Парватов Н.Г. Об инвариантах некоторых классов квазимонотонных функций на полурешётке // Прикладная дискретная математика. 2009. №4. C.21–28.

[24] Парватов Н.Г. Соответствие Галуа для замкнутых классов дискретных функций // Прикладная дискретная математика. 2010. №2. С.10–16.

[25] Парватов Н.Г. Точечные и сильно точечные функции на полурешётке // Прикладная дискретная математика. 2010. №3. С.22–40.