- C помощью метода подвижного корепера получено полное решение проблемы Ли-Лиувилля-Тресса нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно псевдогруппы точечных преобразований.
- Метод подвижного корепера распространен на случай дифференциальных уравнений в частных производных, разработана универсальная и эффективная процедура применения метода эквивалентности Э. Картана для нахождения инвариантных форм псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений с частными производными.
- Эта процедура применена к решению ряда задач эквивалентности дифференциальных уравнений, в том числе
- получено полное решение проблемы Лапласа для классов линейных гиперболических и параболических уравнений с двумя независимыми переменными;
- на основе решения проблемы Лапласа установлена линеаризуе-мость и интегрируемость в квадратурах обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона, в частности, установлена контактная эквивалентность обобщенного уравнения Хантера-Сакстона и уравнения Эйлера-Пуассона, c помощью найденного контактного преобразования получена явная формула, задающая общее решение обобщенного уравнения Хантера-Сакстона;
- установлена контактная эквивалентность уравнений Христиано-вича-Рыжова (уравнения коротких волн) с исключительными значениями параметра уравнению Хохлова-Заболотской, для неисключительных значений параметра установлена эквивалентность уравнений Христиановича-Рыжова этому же уравнению с нулевым значением параметра.
- Предложен метод нахождения накрытий дифференциальных уравнений, основанный на структурной теории псевдогрупп Ли (метод контактных интегрируемых расширений). C его помощью найдены интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской (mdKP), интерполяционного уравнения Дунайского, обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима (rdDym) и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Это позволило воспроизвести в рамках единого подхода известные накрытия этих уравнений, а также найти их новые накрытия и преобразования Бэклунда.
- Показана принципиальная возможность установления с помощью метода контактных интегрируемых расширений существования накрытий с неустранимым (спектральным) параметром. Построено накрытие одного уравнения из семейства rdDym с неустранимым параметром.
- С помощью известных ранее и новых накрытий найдены классы точных многозначных решений уравнения Хохлова-Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского.
1.Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations // Journal of Physics, A, Mathematical and General, 2002, Vol. 35, No 12, P. 2965–2977
2.Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680–2694
3.Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 – 1475
4.Morozov O.I. Cartan’s structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modified dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Applicandae Mathematicae, 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 – 272
5.Morozov O.I. Coverings of differential equations and Cartan’s structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Applicandae Mathematicae, 2007, Vol. 99, No 3, P. 309–319
6.Morozov O.I. Cartan’s structure theory of symmetry pseudo-groups, coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov–Zabolotskaya equation // Acta Applicandae Mathematicae, 2008, Vol. 101, No 1–3, P. 231 – 241
7.Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan’s method: comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 006
8.Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро–Хантера–Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2007, № 114 (4), C. 34–41
9.Морозов О.И. Формы Маурера–Картана псевдогруппы симметрий и накрытие второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник МГТУ ГА, 2009, № 140, C. 14–21
10.Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, C. 92–99
11.Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, C. 100–106
12.Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений Эмдена–Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, № 6, C. 902–903
13.Морозов О.И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности Картана // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005, № 91 (9), C. 28–35
14.Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2003, Т. 39, № 3, C. 423–424
15.Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41, № 6, C. 855–856
(прочие)
16.Morozov O.I. Cartan structure of symmetry pseudo-groups of differential equations via the moving coframe method // Foundations of Computational Mathematics – 2002. Minneapolis, 5–14 August 2002. Abstracts of talks. P. 161–162
17.Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan’s equivalence method // Proceedings of the Fifth Conference Symmetry in Nonlinear ” Mathematical Physics“, Kyiv, Ukraine, 23 – 29 June 2003, Part 1, P. 196–203
18.Morozov O.I. Applications of Cartan’s structure theory of Lie pseudo-groups in geometry of differential equations // Abstracts of International Conference Geometry in Odessa – 2006“, Odessa, 22 – 27 May, 2006, P. ” 127
19.Morozov O.I. Maurer-Cartan forms for symmetry pseudo-groups and cove rings of differential equations // Proceedings of the International Conference Symmetry and Perturbation Theory“ (SPT) 2007, Otranto, Italy, 2-9 ” June 2007, eds. G. Gaeta, R. Vitolo, S. Walcher. World Scientific, 2007, P. 148 – 155.
20.Morozov O.I. Coverings of differential equations and Lie pseudo-groups // Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks. Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15 – 16 March 2009. P. 6
21.Морозов О.И. Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий и накрытия уравнений r-mdKP и r-dDym // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. – М.: Университетская книга, 2009. C. 254–255