- Произведено квантование конкретной модели самогравитирующей сферически симметричной пылевой оболочки, основанное на классическом пред-гамильтониане, т.е., выражении для полной энергии системы как функции радиуса оболочки и его производной по собственному времени. В результате для волновой функции получено стационарное уравнение в конечных разностях со сдвигом аргумента вдоль мнимой оси.
- Разработан метод получения асимптотических решений в особых точках линейных уравнений в конечных разностях.
- Сформулирован критерий, которому должны удовлетворять решения уравнений подобного типа: решения должны быть однозначными аналитическими функциями на римановой поверхности, количество листов которой и положение разрезов определяется видом асимптотик. Показано, что обычный критерий отбора подходящих решений путем наложения граничных условий не позволяет получить дискретный спектр для связанных состояний.
- С использованием данного критерия получен дискретный спектр масс (энергий) для связанных состояний самогравитирующих сферически симметричных пылевых оболочек - релятивистское обобщение формулы Ридберга для атома водорода.
- Получено общее решение волнового уравнения в конечных разностях с кулоновским потенциалом. При этом использован оригинальный метод преобразования обратного интеграла Фурье для перехода из импульсного представление в координатное в интеграл по конечному разрезу в комплексной плоскости импульсов. Исходное же уравнение, после ряда преобразований, сводится, по существу, к одному из рекуррентных соотношений для гипергеометрической функции Гаусса.
- Показано, что для данного уравнения существует только одно супер-фундаментальное решение, из которого строится общее решение. Изучение его аналитических свойств и использование вышеупомянутого критерия отбора приводит к дискретному спектру, который совпадает с полученным ранее при исследовании асимптотик. При этом гипергеометрический ряд обрывается, и возникают новые, неизученные ранее, полиномы.
- Для этих новых полиномов найдена производящая функция.
- Вычислена волновая функция основного состояния, удовлетворяющая в нуле бесконечному ряду граничных условий, необходимых для эрмитовости гамильтониана на действительной полуоси.
- Детально изучен полученный спектр. Его особенности позволили выделить состояния, соответствующие квантовым черным дырам. Все другие состояния описывают или не коллапсирующие оболочки (аналогично электрону в атоме водорода), или же полузамкнутому миру. В предельном случае нулевой полной массы получен дискретный спектр значений голой массы оболочки, образующий замкнутый мир.
- Показано, что спектр масс для (в общем случае) заряженной сферически симметричной черной дыры согласуется с существованием излучения Хокинга.
- Рассмотрена релятивистская задача Кеплера. Найдено каноническое преобразование, позволяющее извлечь квадратный корень, появляющийся в лоренц-факторе, без квадрирования исходного уравнения или введения спиноров. Проведено квантование такой модели и получено релятивистское уравнение Шредингера в конечных разностях.
- Показано, что это квантовое уравнение может быть исследовано методами, предложенными ранее. В результате получен дискретный спектр для связанных состояний. Он оказался аналогичным известному спектру Зоммерфельда для уравнения Клейна-Гордона. 13. Для данного уравнения получен и исследован спектр масс квантовых черных дыр.
Глава 4.
- Построена классическая геометродинамика (формализм Арновитта-Дезера-Мизнера) для сферически симметричной гравитации, источником которой служит тонкая пылевая самогра-витирующая оболочка.
- Найдено каноническое преобразование (аналогичное преобразованию Кухажа для вечной черной дыры), которое позволяет чрезвычайно упростить уравнение связи и разрешить их, оставив только два: для импульсной и гамильтоновой связей на оболочке.
- Получен явный вид гамильтоновой связи на оболочке для Л-области. В общем случае потенциальная часть содержи две точки ветвления, соответствующие горизонтам внутренней и внешней метрик Шварцшильда.
- Реализована идея аналитического продолжения ветвящихся функций и заданы правила обхода точек ветвления. Это позволяет использовать единый гамильтониан в геодезически полном пространстве-времени Шварцшильда.
- Произведена процедура квантования и получено стационарное конечно-разностное уравнение Шредингера для волновой функции, покрывающей все многообразие Шварцшильда и тем самым учитывающей его сложную причинную структуру.
- Подробно исследован случай больших черных дыр (масса гораздо больше массы Планка). В этом случае в теории появляется малый безразмерный параметр, и предел больших масс одновременно означает переход к квази-классическому режиму, когда вместо конечно-разностного уравнения можно ограничиться дифференциальным уравнением второго порядка. Матричным методом вычислены асимптотики решений в особых точках уравнения- в нуле, на обеих бесконечностях и точках ветвления.
- Для простоты рассмотрен случай, когда внутри оболочки нет других источников полей тяготения. Показано, что для оболочек типа черной дыры волновая функция для связанных состояний на "нашей стороне" моста Эйнштейна-Розена имеет экспоненциальное спадание, а на другой стороне - гораздо более быстрое, гауссово, спадание. В Т_-области (неизбежное сжатие) лидирующей является падающая сходящаяся волны, а в Т+-области - расходящаяся, что подтверждает правильность выбора обхода точек ветвления.
- Требование аналитичности решений на подходящей римановой поверхности и сравнение поведения асимптотик на обеих бесконечностях и в точках ветвления позволило получить дискретный спектр для связанных состояний, зависящий от двух квантовых чисел. Появление второго квантового числа не имеет аналога в обычной квантовой механике и является следствием существования второй бесконечности, которую обязательно "чувствует" квантовая оболочка.
- Получено и исследовано квантовое уравнение для расширяющейся световой (изотропной) оболочки, моделирующей излучение из черной дыры или же из полузамкнутого мира (непроходимой кротовой норы). В этом случае отсутствует главное квантовое число, но второе, новое, остается.
- Найден дискретный спектр излучения. Оказывается, энергия излучаемых квантов не совпадает с разностью энергетических уравнений источника. Показано, что черная дыра или кротовая нора с массой, меньшей, примерно, планковской, не может излучать, т.е., существует нижний предел массы для испарения черных дыр.
- Исследована квази-классическая волновая функция как решения первоначального полного уравнения в конечных разностях для световой оболочки. Показано, что требование его аналитичности и однозначности на римановой поверхности, учитывающей все точки ветвления, приводит к тому, что под горизонтом событий черной дыры, помимо подающей (сходящейся) волны, существует и выходящая (расширяющаяся), но амплитуда последней экспоненциально подавлена.
- Показано, что при некоторых, физически приемлемых, предположениях, снаружи черной дыры появляется поток излучение. Применение распределения Гиббса позволило вычислить температуру этого излучения, которая совпала с температурой Хокинга.
- Матричным методом исследованы асимптотики полного конечно-разностного уравнения Шредингера для массивной оболочки. Показано, что, вследствие двойного вырождение собственных значений главной матрицы, уравнения для бесконечных матриц сводятся к бесконечной системе уравнений второго порядка. Найден дискретный спектр для связанных состояний, который в точности совпадает с полученным ранее из приближенного уравнения. Таким образом, спектр един как для больших, так и для малых черных дыр.
- В рамках модели с тонкой оболочкой изучен процесс квантового сферически симметричного гравитационного коллапса. Показано, что, в отличие от классического, он обязательно идет с излучением и рождением вещества внутри первоначальной оболочки. Поскольку такой процесс может идти различными неконтролируемыми путями, то он сам является источником энтропии результирующей квантовой черной дыры.
- С помощью компьютерного моделирования и качественным исследованием спектра показано, что процесс квантового коллапса останавливается в особой точке спектра, когда главное квантовое число равно нулю. В этом состоянии оболочка не чувствует ни внешней, ни внутренней массы, она чувствует только самое себя. Это состояние названо состоянием "беспамятства", оно напоминает главное свойство классической черной дыры - отсутствие "волос". Сформулировано определение квантовой черной дыры как набора оболочек (в нашей модели), каждая из которых находится в состоянии "беспамятства".
Глава 5.
- Предложено исследовать свойства больших квантовых черных дыр (= квази-классических) на классических моделях, которые получили название "классические аналоги квантовых черных дыр". С этой целью сформулировано свойство "беспамятства" на языке непрерывных распределений материи.
- Построена конкретная сферически симметричная модель самогра-витирующей идеальной жидкости, обладающей свойством "беспамятства" и удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна. Оказалось, что плотность энергии (массы) и давления подчиняются закону обратных квадратов. Условие отсутствия сингулярности в тензоре кривизны Римана выделяет одно-параметрическое семейство решений с универсальным численным коэффициентом в распределении материи и предельно жестким уравнением состояния.
- Единственным параметром модели является полная масса, пропорциональная граничному значению радиуса. При этом граничный радиус вдвое больше радиуса Шварцшильда классической черной дыры той же массы. Оказалось, что двумерное сечение (при фиксированных сферических углах) есть не что иное как пространство-время Риндлера. Т.е., у нашей аналоговой модели есть температура, причем все статические наблюдатели внутри распределения материи находятся в тепловом равновесии друг с другом. Эта температура вдвое ниже температуры Хокинга.
- Построена термодинамика этой модели. Вычислены все термодинамические потенциалы. Энтропия системы автоматически квантуется (дискретный эквидистантный спектр). Вычислена функция распределения при простых физических предположениях о спектре элементарных возбуждений и найдено соотношение между фундаментальной частотой возбуждений, температурой и полной энтропией.
- Исследована энергетика процесса квантового излучения. Показано, что учет работы сил поверхностного натяжения приводит к удвоению температуры излучения (до температуры Хокинга). Кроме того, пропорциональность частоты элементарных возбуждений температуре с коэффициентом log3, диктуемый свойствами классических квази-нормальных мод, приводит к тому, что квант энтропии равен log 2, что желательно с точки зрения теории информации.
2.V.A.Berezin, N.G.Kozimirov, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev On the quantum mechanics of bubbles Phys.Lett. B212 (1988) 415-417
3.V.A.Berezin On a quantum mechanical model of a black hole Phys.Lett. B241 (1990) 194
4.V.A.Berezin Quantum mechanics and black holes. Proc. Fourth Seminar on Quantum Gravity, Moscow, 28 May - 1 June, 1990.p.342-357 "Quantum Gravity" World Scientific, Singapore, Eds.M.A.Markov, V.A.Berezin, V.P.Frolov
5.V.A.Berezin Quantum Black Holes and Hawking´s Radiation Preprint IHES/P/91/76 Nov.1991, 27pp.
6.V.A.Berezin On a quantum black hole mass spectrum Proc. 2nd Intern. Sakharov Conf. in Physics, "Moscow 1996, Physics" (1996) 220-223
7.V.A.Berezin Quantum Black Hole Model and Hawking Evaporation Proc. 6th Moscow Quantum Gravity, Moscow, Russia, 12-19 June, 1995 IJMP D5 (1996) 679-706
8.V.A.Berezin On quantization of black holes Proc. 9th Russian Grav.Conf. "Theoretical and experimental Problems of Relativity and Gravitation" Novgorod, Russia, 24-30 June, 1996 Grav.Cosmol. 2 (1996) 277-288
9.V.A.Berezin Quantum Black Hole Model and Hawking´s Radiation Phys.Rev. D55 (1997) 2139-2151 1
10.V.A.Berezin Square-root quantization: application to quantum black holes Talk given on the Second Conference on Constrained Dynamics and Quantum Gravity, Santa Margherita, Ligure, Italy, 17-21 September 1996 Nucl.Phys.Proc.Suppl. 57 (1997) 181-183
11.V.A.Berezin, A.M. Boyarsky, A, Yu. Neronov Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes Phys.Rev. D57 (1998) 1118-1128
12.V.A.Berezin, A.M.Boyarsky. A.Yu.Neronov Towards the mass spectrum of quantum black holes and wormholes Talk given on the Second international conference "Quantum field theory and gravitation", July 28 -August 2, 1997, Tomsk, Russia
13.V.A.Berezin Quantum black holes:unexpected results Talk given at the Birthday Conference dedicated to A.Arvilski, 17th of February, 1997 gr-qc/9710067
14.V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Quantum Mechanics of Self-Gravitating Particles and Quantum Black Hole Models. Preprint INR RAS, 1999
15.V.A.Berezin Markov´s maximon and quantum black holes Phys.Part.Nucl. 29 (1998) 274-277
16.V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Black hole mass spectrum vs spectrum of Hawking radiation Phys.Lett. B455 (1999) 109-114
17.V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Quantum black hole spectrum: What is it? Grav.Cosmol. 5 (1999) 11-15
18.V.A. Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu. Neronov On the Mechanism of Hawking Radiation Grav.Cosmol., Vol. 5 (1999), pp. 16-22 ArXiv: gr-qc/0605.099
19.V.A. Berezin, A.M. Boyarsky, A.Yu. Neronov On the spectrum of relativistic Schroedinger equation in finite differences arXiv:gr-qc/9902028, 16 pages, 1 figure
20.V.A.Berezin Something about quantum black holes 4th Int. Conf. on Cosmology, Relativistic Astrophysics: Cosmoparticle Physics in Honor of 80th Birthday of Isaak M.Khalatnikov (COSMION 99) Moscow, Russia, 17-24 Oct. 1999 Grav.Cosmol. 6 (2000) 72-77
21.V.A.Berezin Notes on quantum gravitational collapse Proc. 9th Marcel Grossmann Meeting on Recent Developments in Theoretical and experimental General Relativity, Gravitation and Relativistic field theories (MG9), Rome, Italy, 2-9 July 2000 "Rome 2000, Recent..., Pt.B", (2000) 1513-1514 gr-qc/0101004
22.V.A.Berezin Quantum black hole: What is it? Nucl.Phys.-Proc.Suppl. 88 (2000) 34-39
23.V.A.Berezin Vector-like Einstein´s equations for D-dimensional spherical gravity with (D-2)-dimensional sphere arXiv:gr-qc/0010083
24.V.A. Berezin Towards a Theory of Quantum Black Hole Talk given at the Fifth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions, Leipzig, 10-14 Sept., 2001 Int.J.Mod.Phys. A17 (2002) 979-988
25.V.A.Berezin, A.L.Smirnov Towards a theory of thin self-gravitating crossing shells Grav.Cosmol. 8 (2002) 25-40 arXiv:gr-qc/0210084
26.V.A. Berezin What can we learn studying quantum black holes? 65 pp.,11 Figs. Published in Int.Journ.Mod.Phys.A (2002) as a review article, gr-qc/0212100
27.V.A.Berezin Quantum gravitational colapse and quantum black holes Phys.Part.Nucl. 34 (2003) 523-553
28.V.A.Berezin Black Hole Thermodynamics without a Black Hole? Nucl.Phys. B661 (2003) 409-422 ArXiv: gr-qc/0302.066
29.V.A.Berezin On Classical Analogs of Quantum Schwarzschild and Reissner-Nordstrom Black Holes. Solving the "Mystery of log(3)" Combined and extended version of talks given at the "4th International Sakharov Conference on Physics", Lebedev Institute, Moscow, Russia, May 18-23, 2009, Joint workshop "Frontiers in Black Hole Physics in Dubna", Dubna, Russia, May 25-30, 2009 and "Twelfth Marcel Grossmann Meeting MG12", Palais d´UNESCO,Paris, France, July 12-18, 2009 ArXiv: gr-qc/1001.3996
30.V.A.Berezin Quantum Black Holes. Black Hole Temperature without a Black Hole 7 pages, Talk given at Workshop "Black Holes in General Relativity and String Theory", August, 24-30, 2008, Veli Losinj, Croatia ArXiv: gr-qc/ 0812.4515. PoS. BHs, GRandStrings. 2008:019.2008
31.V.A.Berezin Classical analog of Quantum Schwarzschild black hole: local vs global, and the mystery of log 3. 20 pages, Preprint IHES, 2010. Int.J.Mod.Phys. A26 (2011) 161
32.V.A.Berezin Notes on classical analogs of quantum black holes. Contr.Paper, p.66-79. Petrov Centenary Symposium. Kazan, 1-6 November, 2010