Научная тема: «ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ В НЕКОММУТАТИВНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ»
Специальность: 01.01.01
Год: 2011
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Вывод аналогов формулы Кэмпбелла - Хаусдорфа для Сг-гладких базисных векторных полей при различных показателях г.
  2. Доказательство существования однородной нильпотентной аппроксимации для С1-гладких базисных канонических векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), в начале координат евклидова пространства Ш , и, как следствие, доказательство существования однородной нильпотентной аппроксимации для общих С2-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), в произвольной точке.
  3. Необходимые и достаточные условия для базисных векторных полей для того, чтобы метрическая функция d-ф, определенная по правилу (0.3), была квазиметрикой; нетривиальные примеры таких квазиметрик (квазиметрики dcc).
  4. Доказательство локальной аппроксимационной теоремы: для С1-гладких базисных канонических векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), при априорных условиях более слабых, чем принадлежность классу С1,а, и, как следствие, для общих С2-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg); для общих С1-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), в случае Т = 2.
  5. Получение аналога сходимости по Громову - Хаусдорфу для компактных квазипространств и доказательство соответствующего аналога теоремы Митчелла о касательном конусе.
  6. Примеры квазипространств Карно - Каратеодори в случаях: С2-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), выражающихся через свои коммутаторы согласованно; недифференцируемых векторных полей типа Леви.
  7. На квазипространствах вида (Uj,dcc) для достаточно широкого класса абсолютно непрерывных горизонтальных кривых доказано, что почти всюду обычная сходимость контролирующих координатных компонент горизонтальной кривой к некоторому направлению в точке (аналог обычной дифференцируемоеTM) влечет дифференцируемость всех координат рассматриваемой кривой (в смысле dcc) в той же точке; как следствие, доказана ее-дифференцируемость сс-липшицевой кривой во всех точках существования ее обычной производной, а для произвольной абсолютно непрерывной горизонтальной кривой - для множества точек более широкого, чем точки лебегова множества производной контролирующих компонент рассматриваемой кривой.
  8. Построены примеры равномерных, iVTА-областей, областей, удовлетворяющих одновременно условиям внутренней и внешней спиралей на группалгеб-
Список опубликованных работ
1.Водопьянов С. К., Грешное А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1015-1048.

2.Водопьянов С. К., Грешное А. В. Аналитические свойства квазиконформных отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1317— 1327.

3.Водопьянов С. К., Грешное А. В. Продолжение дифференцируемых функций и квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996. Т. 348, № 1. С. 15-18.

4.Greshnov A. V. Extension of differentiable functions beyond the boundary of the domain on Carnot groups // Sib. Adv. Math. 1997. V. 7, N 3. P. 20-62.

5.Vodop´yanov S. K., Greshnov A. V. Quasiconformal mappings and -BMO-spaces on metric structures // Sib. Adv. Math. 1998. V. 8, N 3. P. 132-150.

6.Грешное А. В. О равномерных и А^ТА-областях на группах Карно // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42, № 5. С. 1018-1035.

7.Грешное А. В. О существовании областей, удовлетворяющих условиям внутренней и внешней спиралей // Математические труды. 2002. Т. 5, № 2. С. 138-154.

8.Водопьянов С. К., Грешное А. В. О дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 5. С. 592-596.

9.Грешное А. В. Метрики равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори и их касательных конусов // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 259-292.

10.Грешное А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 290-312.

11.Грешное А. В. О дифференцируемости горизонтальных кривых в квазипространствах Карно — Каратеодори // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 67-86.

12.Грешное А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких некоммутирующих векторных полей // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 1. С. 47-62.

13.Грешное А. В. О применениях формулы Тейлора на некоторых квазипространствах // Математические труды. 2009. Т. 12, № 1. С. 3-25.

14.Грешное А. В. Об одном классе липшицевых векторных полей в Ш3 // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 517-527.

15.Грешное А. В. Об обобщенном неравенстве треугольника для квазиметрик, индуцированных некоммутирующими векторными полями // Математические труды. 2011. Т. 14, № 1. С. 70-98.

16.Грешное А. В. Некоммутирующие векторные поля и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. Новосибирск. 2008. 28 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 207).

17.Greshnov A. V. John domains and homogeneous cone condition on Carnot groups // World Scientific: NJ, London, Singapore, Hong Kong. 2003. / Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd ISAAC Congress. (Germany, Berlin, 20-25 August 2001). 2003. V. 1. P. 57-62.

18.Greshnov A. Some approximation theorems for quasimetrics, induced by non-commutative vector fields // Lie Groups: New Research. NY: NOVA Publishers, 2009. P. 307-323.