- Решена задача полулокальной классификации чисто гиперболических особенностей ранга 0 для интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы. В частности, построен новый топологический инвариант (fn-граф), решающий эту задачу, описан алгоритм, реализующий перечисление указанных инвариантов, эффективность этого алгоритма продемонстрирована на примере составления списков особенностей малой сложности.
- Для чисто гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы построен алгоритм нахождения сомножителей минимальной модели по fn-графу, а также получена оценка для сложности атомов, являющихся сомножителями минимальной модели особенности произвольной сложности, не зависящая от числа степеней свободы, что обобщает известный ранее результат об особенностях сложности 1.
- Описаны гомологические свойства комплекса особенностей для интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В частности, доказано, что циклы, заданные особыми точками интегрируемой гамильтоновой системы фиксированного ранга, двойственны по Пуанкаре соответствующим классам Чженя касательного расслоения фазового пространства. Также доказано, что подмногообразия, заполненные гиперболическими особенностями, имеют тривиальное нормальное расслоение в фазовом пространстве системы. В качестве следствия получено описание всех систем с невырожденными особенностями на комплексной проективной плоскости.
- Предъявлен новый топологический инвариант, классифицирующий потоки Морса-Смейла на двумерных поверхностях. В частности, получен список таких потоков для малой сложности.
- Проведен топологический анализ интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4). В частности, вычислены инварианты Фоменко для этой интегрируемой системы.
- Исследована топология задачи двух центров на двумерной сфере. В частности, вычислены соответствующие инварианты Фоменко-Цишанга. Тем самым на этом примере продемонстрирована возможность применения теории топологической классификации к интегрируемым системам, гамильтоновы потоки которых не являются полными.
- Для интегрируемых систем, обладающих бигамильтоновой структурой, получено описание в алгебраических терминах множества особенностей ранга 0 и условие их невырожденности. В частности, на основе этих результатов получено описание особенностей многомерной интегрируемой системы, описывающей динамику n-мерного твердого тела.
[2] А.А.Ошемков, В.В.Шарко, “О классификации потоков Морса– Смейла на двумерных многообразиях”, Матем. Сборник, 189, № 8, 93-140 (1998). [Диссертанту принадлежат разделы 1.2–1.4, 2.4, 3.1, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2.]
[3] В.С.Матвеев, А.А.Ошемков, “Алгоритмическая классификация инвариантных окрестностей точек типа седло-седло”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., № 2, 62-65 (1999). [Диссертанту принадлежит идея алгоритма, а также Лемма и Утверждение 2 Теоремы.]
[4] Т.Г.Возмищева, А.А.Ошемков, “Топологический анализ задачи двух центров на двумерной сфере”, Матем. Сборник, 193, № 8, 3-38 (2002). [Диссертанту принадлежат разделы 1.1, 1.3, 2.2, 2.4.]
[5] Г.Хагигатдуст, А.А.Ошемков, “Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4)”, Матем. Сборник, 200, № 6, 119–142 (2009). [Диссертанту принадлежит §3.]
[6] A.V.Bolsinov, A.A.Oshemkov, “Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems”, Regular and Chaotic dynamics, 14, № 4–5, 325–348 (2009). [Диссертанту принадлежат §§ 2, 3, 6–8.]
[7] А.А.Ошемков, “Сомножители минимальных моделей для седловых особенностей интегрируемых гамильтоновых систем”, ДАН, 433, №2, 173–177 (2010).
[8] А.А.Ошемков, “Топология множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы”, ДАН, 434, №5, 587–590 (2010).
[9] А.А.Ошемков, “Классификация гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем”, Матем. Сборник, 201, № 8, 63–102 (2010).
[10] А.А.Ошемков, “Классификация интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на CP2”, ДАН, 437, №4, 462–464 (2011).
[11] А.А.Ошемков, “Седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем”, Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., Мех., №2, 3–12 (2011).
[12] A.A.Oshemkov, “Computer examinatoin of integrable Hamiltonian systems”, Int. Journ. of Shape Modeling, 1, № 1 61–75 (1995).
[13] A.V.Bolsinov, A. A. Oshemkov, V.V.Sharko, On classification of flows on manifolds. I , Methods of Functional Analysis and Topology, 2, № 2, 190–204 (1996). [Диссертанту принадлежит §3.]
[14] А.А.Ошемков, “О топологической структуре множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы”, В кн.: “Топологические методы в теории гамильтоновых систем” (под ред. А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко, А.И.Шафаревича) — Москва, Факториал, 272–287 (1998).
[15] A.A.Oshemkov, “The topology of the set of singular points for integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, In book: “Proc. of the 3rd Seminar on Geometry & Topology (July 15-17, 2004, Tabriz, Iran)” — Azarbaidjan Univ. of Tarbiat Moallem, 185–204 (2004).
[16] A.V.Bolsinov, A.A.Oshemkov, “Singularities of integrable Hamiltonian systems”, In book: “Topological methods in the theory of integrable systems” (Edited by A.V.Bolsinov, A.T.Fomenko, A.A.Oshemkov) — Cambridge Sci. Publ., 1–67 (2006). [Это обзорная статья, результаты диссертанта содержатся в разделах 5.3 и 7.8.]