Научная тема: «ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ АРБИТРАЖА В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ»
Специальность: 01.01.05
Год: 2010
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Получены новые критерии безарбитражности в моделях рынков с ограничениями на портфели активов, в моделях с операционными издержками, в моделях больших рынков.
  2. Поставлена и решена задача о мартингальном выборе. С использованием этого результата в моделях с операционными издержками получены критерии безарбитражности, выраженные в терминах носителей условных распределений многозначных случайных процессов, определяющих динамику цен активов и правила торговли, а также новые рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств.
  3. Доказаны новые версии теоремы Крепса-Яна об отделимости конусов в пространствах измеримых функций. С использованием соответствующего результата для пространства L1 реализована новая схема доказательства первой фундаментальной теоремы в достаточно общей модели рынка с дискретным временем и бесконечным горизонтом.
  4. Исследована задача о нижних оценках плотностей мартингальных мер в модели с дискретным временем и конечным набором активов. Критерии существования нижних оценок выражены в терминах носителей условных распределений приращений цен. В качестве побочного результата получено новое доказательство теоремы Даланга-МортонаВиллинджера.
  5. Установлено, что арбитражные свойства большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей, построенных для малых рынков. С использованием этого результата проанализирован ряд конкретных моделей. Показано, что предлагаемый подход ведет к новым доказательствам и усилению ключевых результатов теории больших рынков.
  6. Показано, что условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском равносильно существованию эквивалентной супермартингальной плотности для весьма общей модели рынка с непрерывным временем, где множество процессов-капиталов подчинено лишь условию разветвленной выпуклости.
Список опубликованных работ
[1] Рохлин Д.Б. Расширенная версия теоремы Даланга-Мортона-Виллин- джера при выпуклых ограничениях на портфель // Теория вероятн. и ее примен.— 2004.— Т. 49, № 3.— С. 503–521.

[2] Рохлин Д.Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного дис- кретного времени // Теория вероятн. и ее примен.— 2005.— Т. 50, № 3.— С. 480–500.

[3] Rokhlin D.B. The Kreps-Yan theorem for L1 // Int. J. Math. Math. Sci.— 2005.— Vol. 2005, no. 17.— Pp. 2749–2756.

[4] Rokhlin D., Schachermayer W. A note on lower bounds of martingale measure densities // Illinois J. Math.— 2006.— Vol. 50, no. 4.— Pp. 815–824.

[5] Rokhlin D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time // Electron. Commun. Probab.— 2007.— Vol. 12.— Pp. 1–8.

[6] Рохлин Д.Б. Теорема о мартингальном выборе для случайной после- довательности с относительно открытыми выпуклыми значениями // Мат. заметки.— 2007.— Т. 81, № 4.— С. 614–620. 57Karatzas I., Kardaras C. The num’eraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. Vol. 11, no. 4. P. 447–493. 58De Donno M., Guasoni P., Pratelli M. Super-replication and utility maximization in large financial markets // Stochastic Process. Appl. 2005. Vol. 115, no. 12. P. 2006–2022. 29

[7] Рохлин Д.Б. Конструктивный критерий отсутствия арбитража при на- личии операционных издержек в случае конечного дискретного време- ни // Теория вероятн. и ее примен.— 2007.— Т. 52, № 1.— С. 41–59.

[8] Rokhlin D.B. Asymptotic arbitrage and num’eraire portfolios in large financial markets // Finance Stoch.— 2008.— Vol. 12, no. 2.— P. 173–194. [9] Рохлин Д.Б. Эквивалентные супермартингальные плотности и меры в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом // Теория вероятн. и ее примен.— 2008.— Т. 53, № 4.— С. 704–731.

[10] Рохлин Д.Б. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных про- странств // Сиб. мат. журн.— 2009.— Т. 50, № 1.— С. 199–204.

[11] Рохлин Д.Б. Нижние оценки плотностей мартингальных мер в теоре- ме Даланга-Мортона-Виллинджера // Теория вероятн. и ее примен.— 2009.— Т. 54, № 3.— С. 492–514.

[12] Рохлин Д.Б. Расширенная версия первой фундаментальной теоремы финансовой математики при конических ограничениях на портфель // Обозр. прикл. и промышл. матем.— 2002.— Т. 9, № 1.— С. 131–132.

[13] Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия асимптотического бесплатного ленча на конечномерном рынке при выпуклых ограничениях на портфель и выпуклых операционных издержках // Сиб. журн. индустр. мат.— 2002.— Т. 5, № 1.— С. 133–144.

[14] Рохлин Д.Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного вероят- ностного пространства // Обозр. прикл. и промышл. матем.— 2004.— Т. 11, № 4.— С. 913–914.

[15] Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия арбитража в дискретной модели рын- ка ценных бумаг при выпуклых ограничениях на портфель // Сиб. журн. индустр. мат.— 2004.— Т. 7, № 1.— С. 95–108.

[16] Рохлин Д.Б. Теорема о C-мартингальном выборе // Обозр. прикл. и промышл. матем.— 2006.— Т. 13, № 4.— С. 713–714.

[17] Рохлин Д.Б. О критериях безарбитражности больших финансовых рын- ков // Обозр. прикл. и промышл. матем.— 2007.— Т. 14, № 1.— С. 143–144.