- Предложена классификация уравнений Тоды, ассоциированных с конечномерными комплексными классическими группами Ли. Эта классификация основана на новом методе перечисления Z-градуировок полупростых алгебр Ли, использующем лишь общие свойства таких алгебр и не прибегающем к технике корневого разложения элементов алгебры. Построено неабелево (матричное) обобщение уравнения Ли-увилля как частного случая тодовских систем, ассоциированных с симплектической группой Sp2n(C). При этом, в частности, показано, что известный ранее пример интегрируемой системы, ассоциированной с группой Ли 05(C) и заданной сложным набором нелинейных дифференциальных уравнений, вкладывается в построенную классификацию в простейшем блок-матричном виде - как матричное уравнение Тоды, ассоциированное с группой Sp4(C).
- Проведено исследование симметрий неабелевых тодовских систем, ассоциированных с общей линейной и симплектиче-ской группами Ли. Методом Дринфельда-Соколова построены характеристические интегралы рассматриваемых неа-белевых уравнений Тоды в удобном блок-матричном виде.
- Развит канонический формализм для неабелевых тодовских систем, в рамках которого получены скобки Пуассона га-мильтоновых аналогов характеристических интегралов для этих систем. Показано, что эти величины образуют классические W-алгебры, являющиеся полиномиальными расширениями алгебры Вирасоро. Блок-матричный подход позволил записать соотношения W-алгебр в наиболее компактном виде, со структурными константами, имеющими смысл классических r-матриц. Исследован конформно-спиновый состав исходных систем, в результате чего показано, что конформные веса генераторов найденных W-алгебр не превышают конформных весов алгебр токов и Вирасоро, т. е. равны 1 и 2. Это позволяет утверждать, что W-алгебры как расширения алгебры Вирасоро в конформных тодов-ских системах могут возникать не только благодаря включению высших конформных спинов, но и за счет особых свойств соответствующих Z-градуировок.
- Введено понятие интегрируемых Z-градуировок алгебр Ли петель и предложена полная классификация таких градуировок с конечномерными градуировочными подпространствами для скрученных алгебр Ли петель комплексных простых алгебр Ли. При этом, скрученная алгебра Ли петель определена как пространство Фреше скрученно-периодичес-ких гладких отображений евклидовой прямой в конечномерную алгебру Ли, с операцией умножения в алгебре Ли, задаваемой поточечно и являющейся непрерывной. Показано, что классификация рассматриваемых Z-градуировок сводится к классификации всех Zm-градуировок исходной конечномерной алгебры Ли, т. е. эквивалентна классификации их автоморфизмов конечного порядка. Предложена новая классификация автоморфизмов конечного порядка, с точностью до сопряжений, алгебр Ли комплексных классических групп Ли. Развитая при этом техника использует блок-матричное представление комплексных алгебр Ли, что является наиболее подходящим для тодовских систем.
- Построена полная классификация уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель комплексных классических групп Ли, чьи алгебры Ли петель наделены интегрируемыми Z-градуировками с конечномерными градуировочны-ми подпространствами. Получен явный вид соответствующих систем нелинейных интегрируемых уравнений. Показано, что возникает четыре неэквивалентных класса таких систем. Построенная классификация дополнена специальным графическим представлением, наглядно объясняющим главный результат, а также помогающим увидеть общую связь между классами тодовских систем, ассоциированных с группами петель и конечномерными группами Ли.
- Исследованы вещественные формы простейших неабелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы Ли, в результате чего неабелевы (матричные) обобщения уравнений sinh-Гордон и sin-Гордон получены как две неэквивалентные вещественные формы неа-белевых петлевых уравнений Тоды.
- Построены многосолитонные решения для абелевых тодов-ских систем, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, чьи алгебры Ли наделены интегрируемой Z-градуировкой, индуцированной внутренними автоморфизмами конечного порядка исходной общей линейной алгебры Ли. Решения получены двумя различными методами - ´теоретико-возмущенческим´ методом Хироты и рациональным одеванием. Проведен сравнительный анализ этих двух подходов к решению нелинейных уравнений. Показано, что формализм рационального одевания позволяет находить более общие, чем солитонные, классы решений к уравнениям Тоды, которые содержат, в качестве подклассов, все те решения, которые можно строить в рамках ´эвристического´ подхода Хироты.
- Новые многосолитонные решения построены также для абе-левых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, в случае, когда соответствующие Z-градуировки индуцированы внешними автоморфизмами конечного порядка. Эти скрученные петлевые тодов-ские системы включают в себя уравнение Додда-Булло-Михайлова в качестве простейшего частного случая. Показано, что рассмотренные классы уравнений исчерпывают абелевы петлевые тодовские системы для общего линейного случая.
- Метод рационального одевания развит на основе блок-матричного представления алгебраических и групповых элементов, индуцированного исходной Z-градуировкой. С помощью такого обобщения построены многосолитонные решения неабелевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексной общей линейной группой. При этом получены два принципиально различных типа матричного обобщения абелевых солитонных конструкций - т-функций Хироты.
2.Kh. S. Nirov and M. S. Plyushchay, Symmetries and classical quantization, Phys. Lett. B405 (1997) 114-120, arXiv: hep-th/9707070.
3Kh. S. Nirov and M. S. Plyushchay, P,T-invariant system of Chern-Simons fields: Pseudoclassical model and hidden symmetries, Nucl. Phys. B512 (1998) 295-319, arXiv: hep-th/9803221.
4.Kh. S. Nirov, Pseudoclassical mechanics and hidden symmetries of 3D particle models, Fortsch. Phys. 47 (1999) 239-246,
arXiv: hep-th/9804044.
5Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, On classification of non-Abelian Toda systems, in: Geometrical and Topological Ideas in Modern Physics (ed. V. A. Petrov). IHEP, Protvino, 2002, pp.213-221, arXiv: nlin.SI/0305023.
6.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Toda-type integrable systems and W-algebras, in: Supersymmetry and Unification of Fun¬damental Interactions (SUSY´01: eds. D. I. Kazakov, A. V. Gladyshev). World Scientific, Singapore, 2002, pp.434-438.
7.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Higher symmetries of Toda equations, in: Procs. of the 12th Intl. Seminar on High Energy Physics "Quarks´2002" (eds. V. A. Matveev et al). INR, Mos¬cow, 2004, pp.262-271, arXiv: hep-th/0210136.
8.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, W-algebras for non-Abelian Toda systems, J. Geom. Phys. 48 (2003) 505-545, arXiv: hep-th/0210267.
9Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, On Z-gradations of twisted loop Lie algebras of complex simple Lie algebras, Commun. Math. Phys. 267 (2006) 587-610, arXiv: math-ph/0504038.
10.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Toda equations associated with loop groups of complex classical Lie groups, Nucl. Phys. B782 (2007) 241-275, arXiv: math-ph/0612054.
11.Х. С. Ниров, А. В. Разумов, О Z-градуированных алгебрах Ли петель, группах петель и уравнениях Тоды, Теор. Мат. Физ. 154 (2008) 451-476, (англ. перевод: Kh. S. Nirov and A V. Razumov, Z-graded loop Lie algebras, loop groups, and Toda equations, Theor. Math. Phys. 154 (2008) 385-404), arXiv: 0705.2681.
13.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Abelian Toda solitons revisi¬ted, Rev. Math. Phys. 20 (2008) 1209-1248, arXiv: 0802.0593.
14.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, The rational dressing for Abelian twisted loop Toda systems, J. High Energy Phys. 12 (2008) 048, arXiv: 0806.2597.
15.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Solving non-Abelian loop Toda equations, Nucl. Phys. B815 [PM] (2009) 404-429, arXiv: 0809.3944.
16.Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, More non-Abelian loop Toda solitons, J. Phys. A: Math. Theor. 42 (2009) 285201, arXiv: 0810.1025.