- Для различных систем вида (1) - (3) рассмотрен класс решений задачи Коши с сохраняющейся массой, моментом импульса и конечным моментом инерции, мы обозначаем такой класс (КМИ). Для этих решений введен ряд специальных интегральных функционалов и изучены взаимоотношения между ними.
- Доказано, что все гладкие решения уравнений течений сжимаемой вязкой жидкости (уравнений Навье-Стокса) из класса (КМИ) теряют исходную гладкость в пространстве размерности больше или равной трем даже в случае, если носитель их начальных данных - некомпактен. Тем самым получено опровержение гипотезы Ц.П.Шина 28, состоящей в том, что в случае некомпактного носителя начальных данных существует глобально гладкое решение системы уравнений Навье-Стокса, по крайней мере в малом. Этот же результат доказан для уравнений движения баротропной сжимаемой магнитной вязкой жидкости в пространстве п = 3. Кроме того, для решений из класса (КМИ) получены двусторонние оценки всех компонент полной энергии (кинетической, внутренней и магнитной).
- Рассмотрена система уравнений движений баротропной сжимаемой неньютоновской жидкости, занимающей все пространство. Тензор вязкостей предполагается коэрцивным с показателем q > 1. Показано, что если на решениях полная масса и момент системы сохраняются, то можно найти константу q1 > 1, зависящую от размерности пространства п и показателя адиабаты 7 такую, что при q £ [g7, n) не существует глобально гладкого по времени решения задачи Коши.
- Аналогичный результат доказан для решений уравнений неньютоновской магнитогидродинамики в трехмерном пространстве.
- Рассмотрена гиперболическая система уравнений идеальной гранулированной гидродинамики во всем пространстве. Доказано, что при показателе 7 £ (1,1 Н-] для любой пространственной размерности все решения класса (КМИ), соответствующие достаточно малой суммарной массе вещества, за конечное время теряют исходную гладкость. Построены специальные классы точных решений с особенностями, зависящие только от радиальной компоненты. В случае одной пространственной переменной построено нетривиальное решение, не зависящее от времени. Показано, что всякое гладкое возмущение этого решения (при достаточно общих предположениях о его начальных данных) также теряет гладкость.
- Для уравнений газовой динамики в адиабатическом случае оценено время образования особенности решения и указаны способы локализации этой особенности в пространстве. При дополнительных априорных условиях на скорость распространения носителя гладкого компактного возмущения постоянного решения системы (1) - (3) получены условия на начальные данные задачи Коши, достаточные для потери решением исходной гладкости за конечное время.
- Изучена динамика границы материального объема в гладком течении сжимаемой невязкой жидкости; в частности, решена задача об условиях достижения границей материального объема некоторой окрестности точки, первоначально данному объему не принадлежащей.
- Построены классы интегральных функционалов типа момента для систем вида (1) - (3), встречающихся в геофизических приложениях, когда необходимо учитывать Кориолисову силу, трение и геопотенциал, и изучены их свойства. Получены двусторонние оценки потенциальной и кинетической составляющих полной энергии таких систем.
- С помощью техники моментов построены классы глобально гладких по времени решений систем уравнений газовой динамики, в том числе дополненных силой Кориолиса и сухим трением. Для обычной газовой динамики подобные решения ранее были построены Л.В.Овсянниковым. Изучены асимптотические свойства построенных классов решений. Доказана теорема о том, что в присутствии сухого трения свойство решения сохранять гладкость при всех t > 0 является устойчивым по отношению к начальным данным в Соболевской норме.
- Методы, используемые для изучения систем газодинамического типа, применены к теории нелинейного уравнения Шредингера с критическим показателем. А именно, построены новые классы точных решений, среди которых есть те, у которых в течение конечного времени образуется особенность, а также в некоторых частных случаях построено продолжение решения за точку образования особенности.
2.Розанова О.С. Баланс энергии в системе динамики двумерной бароклинной атмосферы. Известия РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1998. т.2. с.189-196.
3.Розанова О.С. Об образовании особенностей решений с компактным носителем, уравнений Эйлера на вращающейся плоскости. Дифференциальные уравнения. 1998. N 8. с.114-118.
4.Rozanova O.S. Blow-up of solutions in a system of atmosphere dynamics. Hyperbolic problems: theory, numerics, applications, Vol. II, p.793-801, Internat. Ser. Numer. Math. 130. Birkhauser, Basel, 1999.
5.Rozanova O.S. On a nonexistence of global solutions to compressible Elder equations. Internat. Ser. Numer. Math. 140. 141. p.811-820. Birkhauser, Basel, 2001.
6.Розанова О.С. Применение интегральных функционалов к изучению свойств решений уравнений Эйлера на римановых многообразиях. Итоги науки и техники. Серия "Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры" Том 99. Дифференциальные уравнения с частными производными. 2002. с.172-216. (Перевод в Journal of Mathematical Sciences. 2003. v 117. no.5. p.4551-4584.)
7.Rozanova O.S. Solutions with linear profile of velocity to the Euler equations in several dimensions. Hyperbolic problems: theory, numerics, applications, p.861-870, Springer, Berlin, 2003.
8.Rozanova O.S. Classes of smooth solutions to multidimensional balance laws of gas dynamic type on Riemannian manifolds. Chapter in the book "Trends in Mathematical Physics Research". New York, Nova Science Publishers, p. 155-204. 2004.
9.Rozanova O.S. Hydrodynamic approach to constructing solutions of nonlinear Schrodinger equation in the critical case. Proc. Amer. Math. Soc. 2005. v. 133. p.2347-2358.
10.Розанова О.С. О поведении границы подвижного объема в гладком течении сжимае.мой жидкости. Дифференциальные уравнения. 2006. N 10. с. 1397-1404.
11.Розанова О.С. Образование особенностей решений уравнений движения сжимаемой жидкости в присутствии внешней силы в случае многих пространственных переменных. Труды Семинара И.Г. Петровского. 2007. т.26. 273-309 (Перевод в Journal of Mathematical Sciences. 2007. v. 143. N 4. p.3355-3376).
12.Rozanova O.S. Blow up of smooth solutions to the compressible Navier-Stokes equations with the data highly decreasing at infinity. Journal of Differential Equations. 2008. v.245. N7. p.1762-1774.
13.Rozanova O.S. Generalized momenta of mass and their applications to the flow of compressible fluid. Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications, Part IV, p.919-927, Springer, 2008.
14.Rozanova O.S. Blow up of smooth solutions to the barotropic compressible magnetohydrodynamic equations with finite mass and energy. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. American Mathematical Society. Volume: 67, 2009, p.911-918.
15.Rozanova O.S. Nonexistence results for a compressible non-Newtonian fluid with magnetic effects in the whole space. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2010. v.371. p.190-194.
16.Rozanova O.S. Formation of singularities in solutions to ideal hydrodynamics of freely cooling inelastic gases. Nonlinearity. 2012. В печати.
17.Розанова О.С. Формирование особенностей у решений одной модельной системы уравнений метеорологии. Успехи мат.наук. 1990. Т.45. Вып.6. 143-144.
18.Розанова О.С. Достаточные условия потери гладкости решениями системы уравнений модели тонкой атмосферы,. Вестн. Моск. Ун-та. 1991. Сер 1. Матем.Механ. N 2. 23-27.
19.Розанова О.С. Об оценке времени образования атмосферного фронта. Известия РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1994. т.6. с.738-744.
20.Розанова О.С. Об оценке времени существования гладкого решения уравнений гидравлики для потоков на наклонных криволинейных поверхностях. Фундаментальная и прикладная математика. 1998. т.4, вып.1, с.333-344.
21.Rozanova O.S. Criterium for the gradient catastrophe for the non-isentropic gas dynamics equations. PAMM. v. 7. N1. 2007. p.2040051-2040052.