- Решается проблема Г. Хайнекена о нормальной вербальной вло-жимости групп: когда для данной группы H и данного множества слов V существует группа G, допускающая нормальное вербальное вложение H в G? Этот вопрос был решен Г. Хайнекеном для всех конечных p-групп1. Б. Айк решила2 вопрос для случая всех конечных групп. Мы даем полный ответ для случая любой группы H.
- Доказывается, что в отличии от нормального случая, субнормальная вербальная вложимость имеет место всегда. Даны усиления ряда известных теoрем о вложениях счетных групп, в частности, теоремы о вложимости любой счетной группы в 2-порожденную группу3. Kаждая счетная группа для любого нетривиального множества слов V -вербально вложима в 2-порожденную группу, причем это вложение может быть субнормальным. B качестве иллюстрации решается один из пунктов Проблемы 14.10 де ля Арпа и Бридсона из Коуровской Тетради4 о явной вложимости группы рациональных чисел Q.
- Изучаются случаи, когда счетная группа данного класса вложима в 2-порожденную группу того же класса и когда это вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах. Именно: если счетная группа является разрешимой группой, SN ∗-группой, SI∗-группой, SN-группой, SI-группой, SN`- группой, SI`-группой или же SD-группой, то для любого нетривиального множества слов V существует субнормальное V -вербальное вложение этой группы в 2-порожден-ную группу, которую можно выбрать в том же из перечисленных классов. Подобное не верно для классов абелевых групп, нильпотентных групп, ZA-групп или N-групп.
- Обсуждаются многообразия, порожденные сплетениями абелевых групп и сплетениями множеств абелевых групп. Находятся критерии, классифицирующие все случаи, когда для данных множеств абелевых групп X и Y их сплетение XWr Y порождает произведение var (X)var (Y) многообразий, порожденных множествами X и Y. Если множества состоят каждая из одной группы, мы получаем критерии, классифицирующие случаи, когда var (AWr B) = var (A) var (B). Эти результаты обобщают известные факты, например, теорему Хоутона.
- Мы используем (вербальные) вложения групп для построения групп и классов групп с различными свойствами. Например, доказывается, что существует континуум 3-порожденных разрешимых нехопфовых групп, порождающих попарно различные многообразия групп. Дана геометрическая конструкция, иллюстрирующая известную концепцию бесконечных сплетенных степеней Ф. Холла и с их помощью дан ответ на один вопрос Плоткина. Приводятся примеры локально-неразрешимых SI∗-групп.
[2] H. Heineken, V. H. Mikaelian, On normal verbal embeddings of groups, Algebra, 12. J. Math. Sci. (New York) 100 (2000), no. 1, 1915–1924. MR1774361 (диссертанту принадлежит основной критерий о нормальной вербальной вло-жимости для всех групп упомянутый в Главе 1 диссертации.)
[3] V. H. Mikaelian, On varieties of groups generated by wreath products of abelian groups, Abelian groups, rings and modules (Perth, Australia, 2000), 223–238, Contemp. Math., 273, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. MR1817165
[4] V. H. Mikaelian, On embeddings of countable generalized soluble groups in two-generated groups, J. Algebra, 250 (2002), 1–17. MR1898374
[5] V. H. Mikaelian, Two problems on varieties of groups generated by wreath products of groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 31 (2002), 2, 65–75. MR1916454
[6] V. H. Mikaelian, An embedding construction for ordered groups, J. Austral. Math. Soc. (A), 74 (2003), 379–392. MR1970055
[7] V. H. Mikaelian, On wreath products of finitely generated abelian groups, Advances in Group Theory, Proc. Internat. Research Bimester dedicated to the memory of Reinhold Baer, (Napoli, Italy, May-June, 2002), Aracne, Roma, 2003, 13–24. MR2053433
[8] V. H. Mikaelian, Uber die normalen verbalen Einbettungen einiger Klassen der Gruppen, BeitrЁage zur Algebra und Geometrie, 45 (2004), 2, 501-516 (Deutsch und Englisch). MR2093021 V. H. Mikaelian, On normal verbal embeddings of some classes of groups, Contributions to Algebra and Geometry, 45 (2004), 2, 501-516 (in German
and English). MR2093021
[9] V. H. Mikaelian, Infinitely many not locally soluble SI*-groups, Ricerche di Matematica, Univ. Studi Napoli, Naples, 52 (2003), 1–19. MR2090057
[10] V. H. Mikaelian, On embedding properties of SD-groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2004:2 (2004) 65–76. MR2471850
[11] V. H. Mikaelian, On a problem on explicit embeddings of the group Q, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005:13 (2005) 2119–2123. MR2177699
[12] V. H. Mikaelian, Metabelian varieties of groups and wreath products of abelian groups, J. Algebra, 2007 (313), 2, 455–485. MR2329555
[13] V. H. Mikaelian, On finitely generated soluble non-Hopfian groups, an application to a problem of Neumann, IJAC, International Journal of Algebra and Computations, 17 (2007), Nos. 5-6, 1107–1113. MR2355688
[14] V. H. Mikaelian, SD-groups and embeddings, Armen. J. Math. 1 (2008), no. 3, 23-42. MR2471850
[15] В. Г. Микаелян, О конечно порождённых разрешимых нехопфовых группах, Фундамент. и прикл. матем., 14:8 (2008), 185-202 (на русском и английском). MR2355688
[16] V. H. Mikaelian, On finitely generated soluble non-Hopfian groups, Fundam. Prikl. Mat., 14:8 (2008), 185202 (in Russian and English). MR2355688