В 1882 г. А.М. Ляпунов успешно сдал магистерские экзамены и начал работать над другой диссертацией, тему которой ему предложил П.Л.Чебышев - исследование эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости. В 1885 г. он блестяще защитил в Петербургском университете эту работу в качестве диссертации на степень магистра прикладной математики. В том же году он был утвержден в звании приват-доцента и получил предложение занять кафедру механики в Харьковском университете, освободившуюся после избрания В.Г.Имшенецкого в члены Академии Наук.
Все эти годы А. М. Ляпунов упорно работал над своей докторской диссертацией «Общая задача об устойчивости движения». В этой фундаментальной работе Ляпунов всесторонне рассмотрел проблему устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы. Защита диссертации состоялась 30 сентября 1892 г. в Московском университете. Защита прошла блестяще, и вскоре, в январе 1893 г. тридцатипятилетний учёный получил звание ординарного профессора Харьковского университета. В этом университете он продолжал преподавательскую деятельность до весны 1902 г.
В 1900 г. А.М. Ляпунов был избран членом-корреспондентом Академии наук, а в 1901 г. - ординарным академиком по кафедре прикладной математики, остававшейся вакантной в течение семи лет после смерти П.Л.Чебышева. В 1902 г. Ляпунов переехал в Петербург и целиком отдался научной работе - исследованию фигур небесных тел, т.е. исследованию форм равновесия равномерно вращающейся жидкости.
Большой цикл исследований Ляпунова посвящен теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются по закону всемирного тяготения. До Ляпунова были установлены для однородной жидкости эллипсоидальные фигуры равновесия. Ляпунов впервые доказал существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости, близких к эллипсоидальным. Он установил, что от некоторых эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо неоднородной жидкости. Ляпунов разрешил также задачу, предложенную ему ещё в начале его научной деятельности П.Л.Чебышёвым, о возможности ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей (возможной для эллипсоидов) угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия. Ответ получился отрицательным. Ляпунов впервые строго доказал существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости при весьма общих предположениях об изменении плотности с глубиной. Ляпунов занимался также исследованием устойчивости как эллипсоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая однородной жидкости. Сама постановка вопроса об устойчивости для сплошной среды (жидкость) до работ Ляпунова была неясной. Он впервые строго поставил вопрос и с помощью тонкого математического анализа провёл исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал неустойчивость так называемых грушевидных фигур равновесия и тем самым опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж. Дарвина. Цикл работ Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур занимает центральное место во всей теории фигур равновесия.
Небольшим по объёму, но весьма важным для дальнейшего развития науки был цикл работ Ляпунова по некоторым вопросам математической физики. Среди работ этого цикла основное значение имеет его труд "О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле" (1898). Эта работа основана на исследовании свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по некоторой поверхности. Наиболее существенно исследование так называемого потенциала двойного слоя (случай диполей). Далее Ляпунов получил важные результаты, касающиеся поведения производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на которой задано граничное условие. На этой основе им впервые были доказаны симметрия функции Грина для задачи Дирихле и формула, дающая решение задачи в виде интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие, на нормальную производную функции Грина. При всех этих условиях Ляпунов налагает на граничную поверхность некоторые ограничения; поверхности, удовлетворяющие им, называются теперь поверхностями Ляпунова.
В теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования (метод "характеристических функций"), замечательный по своей общности и плодотворности; обобщая исследования П.Л.Чебышева и А.А.Маркова (старшего), Ляпунов доказал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.
Научные заслуги А.М.Ляпунова были признаны всем миром: он состоял почетным членом Петербургского, Харьковского и Казанского университетов, почетным членом Харьковского математического общества, иностранным членом Академии в Риме, членом-корреспондентом Парижской академии наук.