Родился 12 ноября 1933 г. в Минусинска. В 1958 г. окончил химико-технологический факультет Сибирского лесотехнического института (сейчас Сибирский государственный технологический университет) с отличием по специальности «химическая технология целлюлозно-бумажного производства». В 1970 г. защитил кандидатскую диссертацию «Исследование процессов размола волокнистых материалов на пакетном гидродинамическом генераторе и разработка его конструкции», в 1990 г. присвоено ученое звание профессора.

Трудовая деятельность: инженер Красноярского целлюлозно-бумажного комбината, затем старший преподаватель, доцент, с 1984 г. по настоящее время – заведующий кафедрой целлюлозно-бумажного производства и химических волокон СибГТУ.

Область научных интересов: теория и технология размола волокнистых материалов.

А.В. Бывшев является одним из ведущих специалистов в области теории и практики размола волокнистых материалов. Им получено более 50 авторских свидетельств и патентов, разработки неоднократно экспонировались и отмечены медалями на ВДНХ СССР, на других промышленных выставках, внедрены на ряде предприятий России и Украины с большим экономическим эффектом. В 1989 г. президиум Красноярского краевого совета ВОИР утвердил положение о присуждении ежегодной премии имени заслуженного изобретателя РСФСР А.В. Бывшева.

Подготовил трех кандидатов технических наук.

Публикации: общее число опубликованных работ более 260, в том числе 3 монографии и 3 учебных пособия.

Почетные звания: Заслуженный изобретатель РСФСР, Заслуженный работник высшей школы России, Почетный работник высшего профессионального образования РФ, Почетный работник лесной промышленности, действительный член Академии проблем качества, член-корреспондент Российской академии естественных наук.

В 2009 г. Российская академия естествознания наградила А.В. Бывшева и возглавляемый им коллектив дипломом «Золотая кафедра России».

А.В. Бывшев стоял у истоков организации спортивного скалолазания в Красноярске, неоднократный чемпион и призер Красноярска по этому виду спорта, снимался в кинофильме «Край причудливых скал» (Мосфильм, 1953).