Тихонов Иван Владимирович

1. С общих позиций проанализирован ряд новых и классических задач для абстрактных дифференциальных уравнений произвольного порядка. При этом: а) проведено исчерпывающее изучение вопроса единственности в периодической задаче; б) найдены условия, при которых абстрактное дифференциальное уравнение имеет только тривиальное решение; в) изу­чены структурные свойства нуль-решений в абстрактной задаче Коши; г) получен законченный критерий единственности в модельной обратной задаче, выраженный в терминах распределения нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера;   д) поставлена и изучена «обобщенная задача Уорда», для которой также найден критерий единственности. Все перечисленные рассмотрения проведены без ограничений сверху на порядок уравнения и без каких-либо качественных предположений о природе линейных операто­ров в составе дифференциального уравнения. Отдельные аналоги резуль­татов автора встречались ранее лишь для уравнений первого и второго порядков, при тех или иных жестких ограничениях.
2. Исследована линейная нелокальная «по времени» задача для аб­ страктного дифференциального уравнения первого порядка. На конечном промежутке «времени» получен исчерпывающий критерий единственности без ограничений на оператор в уравнении и на меру в нелокальном усло­ вии. Указаны основные следствия и обобщения; приведены эффективные достаточные признаки единственности. Никаких общих подходов к подоб­ ным нелокальным задачам ранее не было; встречались лишь частные ра­ боты по каким-то отдельным случаям.
3. В линейной нелокальной задаче на неограниченном промежутке «вре­мени» отдельно изучены два практически важных случая: монотонной и периодической весовых функций в нелокальном условии. Установлены но­вые теоремы разрешимости. В периодическом случае разработана ориги­нальная методика, основанная на теоремах об отображении спектра для интегралов от полугрупп. Методика допускает перенос на целый ряд дру­гих ситуаций в нелокальной «по времени» задачи.
4. Доказана новая теорема об отображении точечного спектра для инте­грала от полугруппы на конечном отрезке [О, Т]. Данный результат принци­пиально важен для ряда задач из теории абстрактных дифференциальных уравнений. В классических источниках (работы Э. Хилле и Р. Филлипса) были лишь частичные аналоги подобного утверждения.
5. Получен цикл теорем единственности в линейной обратной задаче с финальным переопределением. Всесторонне исследован так называемый «скалярный» случай. Результаты являются окончательными, ограничения - неослабляемыми. Аналогичные вопросы поднимались ранее лишь при специальных качественных ограничениях на оператор в дифференциаль­ ном уравнении (работы Д. Г. Орловского, Ю. С. Эйдельмана и др).
6. Поставлена и полностью решена принципиально новая задача с нело­кальным условием «среднего по времени» для многомерного уравнения теплопроводности. Дано описание классов единственности и разрешимо­сти; выявлены все сопутствующие технические обстоятельства. Результа­ты выражены в терминах экспоненциального поведения решений на бес­конечности. Найдены точные границы между единственностью и неедин­ственностью, корректностью и некорректностью. Предложенные подходы открывают широкие возможности для обобщений - на другие виды пара­болических уравнений и другие виды нелокальных условий.

2.Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Известия РАН, cер. матем. - 2003. - Т. 67, № 2. - С. 133-166.

3.Тихонов И. В. Абстрактные дифференциальные нуль-уравнения // Функц. анализ и его прилож. - 2004. - Т. 38, вып. 2. - С. 65-70.

4.Тихонов И. В. Обобщенная задача Уорда для абстрактных диффе-ренциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 3. -С. 325-336.

5.Тихонов И. В. Соображения монотонности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения // Интегральные преобразо-вания и специальные функции. Информ. бюллетень. - 2001. - Т. 2, № 1. -С. 119-128.

6.Тихонов И. В. Структурные свойства нуль-решений абстрактной за-дачи Коши // Интегральные преобразования и специальные функции. Ин-форм. бюллетень. - 2002. - Т. 3, № 1. - С. 22-38.

7.Тихонов И. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преобразования и специальные функции. Информ. бюлле-тень. - 2004. - Т. 4, № 1. - С. 49-69.

8.Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Обратная задача для дифферен-циального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей це-лой функции типа Миттаг-Леффлера // Дифференц. уравнения. - 2002. -Т. 38, № 5. - С. 637-644.

9.Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Теоремы об отображении точечного спектра для Co-полугрупп и их применение в вопросах единственности для абстрактных дифференциальных уравнений // Доклады РАН. - 2004. -Т. 394, № 1. - С. 32-35.

10.Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Критерий единственности в об-ратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения с неста-ционарным неоднородным слагаемым // Матем. заметки. - 2005. - Т. 77, вып. 2. - С. 273-290.

11.Попов А. Ю., Тихонов И. В. Экспоненциальные классы единствен-ности в задачах теплопроводности // Доклады РАН. - 2003. - Т. 389, № 4.

-С. 465-467.

12.Попов А. Ю., Тихонов И. В. Классы единственности в нелокальной по времени задаче для уравнения теплопроводности и комплексные соб¬ ственные функции оператора Лапласа // Дифференц. уравнения. - 2004.

-Т. 40, № 3. - С. 396-405.

13.Попов А. Ю., Тихонов И. В. Разрешимость задачи теплопроводности с нелокальным условием среднего по времени // Доклады РАН. - 2004. -Т. 398, № 6. - С. 738-742.

14.Попов А. Ю., Тихонов И. В. Экспоненциальные классы разрешимо-сти в задаче теплопроводности с нелокальным условием среднего по вре-мени // Матем. сборник. - 2005. - Т. 196, № 9. - С. 71-102.

15.Eidelman Y. S., Tikhonov I. V. On periodic solutions of abstract dif-ferential equations // Abstract and Applied Analysis. - 2001. - V. 6, No 8. -P. 489-499.