Конёнков Андрей Николаевич

1. Исследована гладкость основных потенциалов в модельном случае для уравнения теплопроводности в анизотропных пространствах Зигмун­да, а также в пространствах Зигмунда с весом. А именно, рассмотрены потенциал Пуассона, объемный потенциал, потенциалы простого и двойно­го слоя. С их помощью получены необходимые и достаточные условия для принадлежности решений модельных начально-краевых задач простран­ствам Зигмунда. Для этого введены дополнительные (по сравнению со слу­чаем пространств Гельдера) разностные условия согласования. Показано, что в случае целого порядка условий согласования в оценке корректности появляется дополнительное слагаемое, и что оценка корректности без него неверна.
2. Исследованы некоторые свойства функций из изотропных и парабо­лических пространств Зигмунда. В частности, получена теорема о равен­стве логарифмических особенностей для определенных разностных выра­жений от функций из пространств Зигмунда. С ее помощью установлено, что вводимые в диссертации разностные условия согласования для различ­ных краевых задач можно интерпретировать как «следы» некоторых раз­ностных соотношений, которым решения из пространств Зигмунда должны удовлетворять внутри области.
3. Для параболических уравнений с переменными коэффициентами ис­следована гладкость решений задачи Коши, первой краевой задачи и задачи с косой производной в пространствах Зигмунда. Для краевых задач об­ласть может быть нецилиндрической и неограниченной, а ее боковая грани­ца - некомпактной. Коэффициенты параболического оператора и боковая граница области также предполагаются принадлежащим соответствующим пространствам Зигмунда. Получены необходимые и достаточные условия для принадлежности решения этих задач пространствам Зигмунда. Уста­новлены оценки корректности для решений, причем в случае целого по­рядка условий согласования в них появляется дополнительное слагаемое, конечность которого требуют разностные условия согласования.
4. Для решений параболических уравнений с переменными коэффици­ентами получены внутренние априорные оценки типа Шаудера в простран­ствах Зигмунда. Коэффициенты параболического оператора предполага­ются принадлежащими некоторым весовым классам Зигмунда, естественно согласованным с гладкостью решений.
5. Для уравнения теплопроводности в областях с прямыми углами рас­смотрены первая и вторая краевая задачи с нулевыми начально-краевыми условиями и ограниченной правой частью. Установлено, что (обобщенные) решения будут принадлежать анизотропному пространству Зигмунда Н2, являющемуся аналогом анизотропного пространства Гельдера С ^+а при а = 1. В цилиндре, основанием которого является квадрат, рассмотре­на первая краевая задача в шкале пространств Зигмунда с ненулевыми начальными и граничными данными. Введены два дополнительных раз­ностных условия согласования - на основании боковой поверхности и на боковых ребрах цилиндра. Показано, что в случае целого порядка усло­вий согласования в оценке корректности появляются два дополнительных слагаемых и оценка корректности без них неверна.
6. Из установленных в работе результатов о гладкости решений парабо­лических краевых задач в качестве следствия получены априорные оценки решений соответствующих эллиптических краевых задач. В частности, для задачи Дирихле и задачи с косой производной получены априорные оцен­ки решений в пространствах Зигмунда в областях общего вида. Область может быть неограниченной, а ее граница некомпактной. Коэффициенты эллиптического оператора и граница области предполагаются принадлежа­щим соответствующим пространствам Зигмунда.
7. Для уравнения теплопроводности с одной пространственной пере­менной рассмотрена задача Тихонова с краевым условием порядка r ≥ 2. Получены достаточные условия для принадлежности решения этой задачи пространствам Зигмунда. Для этого введены дополнительные разностные условия согласования.

[2] Коненков А.Н. Первая краевая задача для параболического уравнения в классе Гельдера На //Дифференц. ур-ния. 2004. Т.40. №3. С. 389-395.

[3] Коненков А.Н. Первая краевая задача в кубе для уравнения теплопро-водности в пространствах Зигмунда //Известия РАЕН. Дифференц. ур-ния. 2004. №8. С. 46-50.

[4] Коненков А.Н. Задача Коши для уравнения теплопроводности в про-странствах Зигмунда //Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. №6. С. 820-831.

[5] Коненков А.Н. Модельные краевые задачи для уравнения теплопро-водности в пространствах Зигмунда //Доклады РАН. 2005. Т. 404. №1. С. 18-20.

[6] Коненков А.Н. Задача Тихонова для одномерного уравнения теплопро¬водности в пространствах Зигмунда //Известия РАЕН. Дифференц. ур-ния. 2005. №9. С. 29-35.

[7] Коненков А.Н. Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и теплопроводности в областях с прямыми углами //Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 75-82.

[8] Коненков А.Н. Задача Коши для параболических уравнений в про-странствах Зигмунда //Дифференц. ур-ния. 2006. Т. 42. №6. С. 814-819.

[9] Коненков А.Н. Задача Дирихле в пространствах Зигмунда в квадрате //Доклады РАН. 2007. Т. 412. №1. С. 22-25.

[10] Коненков А.Н. Гладкость теплового потенциала двойного слоя в про-странствах Зигмунда //Дифференц. ур-ния. 2007. Т.43. №8. С. 1106-1115.

[11] Коненков А.Н. Краевые задачи для параболических уравнений в про-странствах Зигмунда //Доклады РАН. 2008. Т. 418. №1. C. 15-18.