Гуревич Павел Леонидович

1. До сих пор в общей теории нелокальных эллиптических задач предполагалось, что преобразования переменных в нелокальных краевых условиях линейны вблизи точек сопряжения краевых условий, а именно представляют из себя композицию операторов сдвига, поворота и гомотетии.
2. В работе изучена задача с нелинейными преобразованиями, которые не являются малы­ми или компактными возмущениями. Показано, что при переходе от линейных преобра­зований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В. А. Кон­дратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется.
3. В случае пересечения носителя нелокальных членов с границей области разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах Соболева W^l+2m(G) = W^l₂^+2m(G) (где 2т - порядок эллиптического уравнения, / ^ 0 - целое) прежде не исследовалась. Основная трудность заключается в том, что решения нелокальной задачи могут иметь степенные особенности вблизи некоторых точек и, вообще говоря, не принадлежат «нуж­ ному» пространству Соболева.
4. В диссертации показано, что фредгольмова разрешимость ограниченного оператора в пространствах Соболева W^l+2m(G) определяется расположением собственных значений некоторой вспомогательной оператор-функции £(А) (А е С), соответствующей точкам сопряжения краевых условий, структурой жордановых цепочек, отвечающих этим соб­ственным значениям, а также выполнением определенных алгебраических соотношений между эллиптическим оператором и операторами в нелокальных краевых условиях.
5. Ранее вопрос о фредгольмовости неограниченного нелокального оператора в L₂(G) в случае подхода носителя нелокальных членов к границе области изучался лишь тогда, когда нелокальные условия заданы на сдвигах границы³², или же в случае нелокального возмущения задачи Дирихле для уравнения второго порядка³³.
6. В диссертационной работе доказано, что неограниченный оператор в L₂(G), задан­ный на обобщенных решениях нелокальной задачи (функциях из W^e(G), 0 ^ £ ^ 2т- 1), оказывается фредгольмовым вне зависимости от расположения собственных значений оператор-функции £(Л). Кроме того, исследована устойчивость индекса опера­тора в L₂(G) при возмущении эллиптического уравнения младшими членами и краевых условий нелокальными операторами.
7. В работе³⁴ рассматривался вопрос о гладкости вблизи угловой или конической точки обобщенных решений из пространства Соболева W^m{G) эллиптического уравнения по­ рядка 2т c условием Дирихле на границе. В частности, было доказано, что решения можно сделать сколь угодно гладкими за счет уменьшения раствора угла. Принципи­ ально иная ситуация имеет место в случае нелокальных краевых условий. В работе⁹ показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться вблизи гладкой гра­ ницы или вершины малого угла. С другой стороны, наличие нелокальных членов с достаточно большими по модулю коэффициентами может обеспечить гладкость обоб­ щенных решений вблизи вершины угла, большего тг.
8. В диссертационной работе изучена гладкость обобщенных решений из W´{G), 0^£^ 2т - 1, эллиптических уравнений порядка 2т c общими нелокальными условиями. Ряд результатов являются новыми даже в случае уравнения Пуассона.
9. Вопрос о существовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае рассматри­ вался в работах А. Л. Скубачевского при условии, что коэффициенты нелокальных операторов убывают при стремлении аргумента к границе области. В работах Е. И. Га- лахова и А. Л. Скубачевского изучены краевые условия в случае, когда коэффициенты при нелокальных членах вблизи точек сопряжения краевых условий меньше единицы. В этом случае нелокальную задачу (после сведения на границу) можно рассматривать в определенном смысле как возмущение «локальной» задачи Дирихле. Предельный слу­ чай, когда коэффициенты при нелокальных членах равны единице, до сих пор оставался неизученным.
10. В работе исследованы нетрансверсальные нелокальные условия, допускающие этот пре­дельный случай. Получены достаточные условия на борелевскую меру n{y,drj) (носи­тель которой содержится в замыкании области), гарантирующие, что соответствующий нелокальный оператор будет генератором полугруппы Феллера. Изучены как ограничен­ные, так и неограниченные возмущения эллиптического оператора. Построены примеры несуществования полугруппы Феллера.

1.Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями пе-ременных вблизи точек сопряжения// Известия РАН. Сер. матем. — 2003. —67, № 6. — С. 81–120.

2.Гуревич П. Л. О гладкости обобщенных решений нелокальных эллиптических задач на плоскости// Докл. АН. — 2004. —398, № 3. — C. 295–299.

3.Гуревич П. Л. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач// Матем. за¬метки. — 2005. —77, № 5. — C. 665–682.

4.Гуревич П. Л. Об устойчивости индекса неограниченных нелокальных операторов в пространствах Соболева// Труды МИАН. — 2006. —255. — С. 116–135.

5.Гуревич П. Л. О неустойчивости индекса некоторых нелокальных эллиптических задач// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2007. —26. С. 179–194.

6.Гуревич П. Л. Неограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными краевыми условиями// Докл. АН. — 2007. —417, № 4. — С. 451–455.

7.Гуревич П. Л. О существовании полугруппы Феллера с атомарной мерой в нелокальном краевом условии// Труды МИАН. 2008. —260. — С. 164–179.

8.Гуревич П. Л. Ограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нело-кальными условиями вблизи границы// Матем. заметки. — 2008. —83, № 2. —181–198.

9.Гуревич П. Л. О несуществовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае// Успехи матем. наук. — 2008. —63, № 3. — C. 159-160.

10.Гуревич П. Л., Скубачевский А. Л. О фредгольмовой и однозначной разрешимости нело-кальных эллиптических задач в многомерных областях// Труды Моск. матем. общ. — 2007. —68. — C. 288–373.

11.Gurevich P. L. Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, I// Russ. J. Math. Phys.— 2003. —10, № 4. — P. 436–466.

12.Gurevich P. L. Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, II// Russ. J. Math. Phys.— 2004. —11, № 1. — P. 1–44.

13.Gurevich P. L. The consistency conditions and the smoothness of generalized solutions of nonlocal elliptic problems// Adv. Differential Equations. — 2006. —11, № 3. — P. 305–360.

14.Gurevich P. L. Smoothness of generalized solutions for higher-order elliptic equations with nonlocal boundary conditions// J. Differential Equations. — 2008. — doi: 10.1016/j.jde.2008.06.001. — 33 p.

Тезисы международных конференций

1.Gurevich P. L. Asymptotics and smoothness of generalized solutions for nonlocal elliptic problems// Тезисы Международной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и приложения». Беер-Шева. Израиль. — 2002. — C. 25-26.

2.Gurevich P. L. Nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Третьей междуна¬родной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным урав¬нениям. Москва. МАИ. — 2002. — C. 41-42.

3.Gurevich P. L. Nonlocal elliptic problems near the boundary in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Колмогоров и современная математика», посвященной столетию со дня рождения А. Н. Колмогорова. Москва. Математический институт им.

B.А. Стеклова. — 2003. — C. 176-177.

4.Gurevich P. L. Nonlocal elliptic problems with nonlinear argument transformations near the boundary// Тезисы Международной конференции «Нелинейные уравнения с частными производными». Алушта. Украина.— 2003. — C. 86-87.

5.Gurevich P. L. Elliptic problems with nonlocal conditions near the boundary// Тезисы Меж-дународной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными, посвященной В. А. Солонникову. Феррара. Италия. — 2003. C. 13.

6.Gurevich P. L. On Fredholm solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопро¬сы», посвященной И. Г. Петровскому. Москва. МГУ им. М. В. Ломоносова. — 2004. —

C.81-82.

7.Gurevich P. L. Elliptic equations with nonlocal boundary-value conditions on Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Функциональные пространства, тео¬рия аппроксимации, нелинейный анализ», посвященной столетию С. М. Никольского. Москва. Математический институт им. В. А. Стеклова. — 2005. — C. 288.

8.Gurevich P. L. Regularity of generalized solutions to nonlocal elliptic problems// Тези¬сы Четвертой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. Москва. Математический институт им. В. А. Стекло-ва. — 2005. — C. 42-43.

9.Gurevich P. L. Generalized solutions to nonlocal elliptic problems// Тезисы Междуна¬родной конференции «Нелинейные уравнения с частными производными», посвященной О. А. Ладыженской. Алушта. Украина. — 2005. — C. 40.

10.Gurevich P. L. Unbounded operators corresponding to nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Тихонов и современная математика». Москва. МГУ им. М. В. Ломоносова. — 2006. — Раздел 1, с. 93-94.

11.Gurevich P. L. Elliptic problems with nonlocal boundary-value conditions// Тезисы Меж-дународного конгресса математиков. Мадрид. Испания. — 2006.

12.Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи и полугруппы Феллера в нетранс-версальном случае// Тезисы Международной конференции «Функциональные простран¬ства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического об¬разования», посвященной 85-летию Л. Д. Кудрявцева. Москва. — 2008. — C. 250-251.