Научная тема: «СПЕКТРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ, РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ И СИНГУЛЯРНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ»
Специальность: 01.01.02
Год: 2008
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. В задачах о паре квантовых волноводов, связанных окном, детально изу­чается эффект возникновения новых собственных значений из края суще­ственного спектра при увеличении окна. В двумерном случае доказываются необходимые и достаточные условия критичности окна. Под критичным по­нимается такое окно, увеличение которого приводит к возникновению ново­го собственного значения. Для возникающих собственных значений строятся асимптотические разложения, а также описывается асимптотическое поведе­ние соответствующих собственных функций. В трёхмерном случае показано, что ситуация в целом аналогична. А именно, увеличение окна приводит к воз­никновению новых собственных значений из края существенного спектра. Как и в двумерном случае, подробно исследуется эффект возникновения данных собственных значений и строятся асимптотики возникающих собственных зна­чений и соответствующих собственных функций. Кроме того, для обоих слу­чаев явно описана область определения рассматриваемого Лапласиана. Дан­ный результат нетривиален, так как Лапласиан рассматривается в области с негладкой границей, имеющей коническую точку (ребро) на границе окна.
  2. Для функций из области определения явно выделены возможные особенности в окрестности данной конической точки (ребра).
  3. Задачи о Лапласиане с разбегающимися возмущениями рассматриваются в областях двух типов - многомерный бесконечный цилиндр и многомерное пространство. Разбегающиеся возмущения описываются произвольными аб­страктными операторами, локализованными на ограниченных областях, ко­торые расположены на большом расстоянии друг от друга. На возмущающие операторы накладываются минимальные ограничения, а именно, симметрич­ность и ограниченность относительно Лапласиана. Структура самих опера­торов может быть произвольна. Такой подход позволяет в общем виде рас­смотреть в качестве разбегающихся возмущений одновременно большое число различных операторов, например, потенциал, дифференциальный оператор второго порядка, интегральный оператор и т.д. Здесь основные результаты - теоремы сходимости и асимптотические разложения для изолированных соб­ственных значений и соответствующих собственных функций возмущённых операторов. Данные результаты получены в общем случае при самых общих предположениях. Отдельно рассмотрены наиболее типичные частные случаи и получены более частные формулы для первых членов асимптотических раз­ложений с учётом специфики случаев.
  4. В задаче о малом локализованном возмущении периодического операто­ра одним из главных отличий от предшественников является тот факт, что не предполагается симметричность для возмущающего оператора. Множество возможных возмущений помимо потенциалов включает в себя широкий класс примеров разнообразной природы, таких как дифференциальный оператор, интегральный оператор, линейный функционал, дельта-потенциал с малой комплексной константой связи, быстро осциллирующий потенциал. В диссер­тации показано, что существенный спектр возмущённого оператора не зави­сит от возмущения, остаточный спектр пуст, а точечный спектр состоит из не более, чем счётного числа собственных значений конечной кратности, ко­торые не имеют конечных точек накоплений. Приведён пример возмущения, которое порождает собственное значение, вложенное в существенный спектр. Отметим, что подобный эффект не мог возникнуть в задачах, рассмотренных в работах Ф.С. Рофе-Бекетова, В.А. Желудева, Н.Е. Фирсовой, Б. Саймо­на и Ф. Джестези. Также приводятся достаточные условия, гарантирующие отсутствие вложенных собственных значений. Установлено, что собственные значения возмущённого оператора стремятся к бесконечности либо сходятся к краям лакун в существенном спектре. Доказано, что в окрестности края заданной лакуны существует не более одного такого собственного значения, приведён критерий существования, и в случае существования построено его асимптотическое разложение. Также построено асимптотическое разложение соответствующей собственной функции.
  5. Возмущение, описываемое быстро осциллирующими коэффициентами, изу­чается для матричного самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка достаточно общего вида во всем пространстве. Первым отличи­ем нашего оператора от операторов, рассмотренных в работах М.Ш. Бирма­на, Т.А. Суслиной, В.В. Жикова, является наличие младших членов. Главная часть оператора записывается в дивергентном виде. Младшие члены зада­ются достаточно произвольно; единственным ограничением является самосо­пряжённость оператора, а также полуограниченность снизу, равномерная по малому параметру. Кроме того, предполагается определённая гладкость коэф­фициентов. Ещё одним отличием является то, что в нашем случае коэффици­енты системы зависят от медленных и быстрых переменных. Зависимость от быстрых переменных носит периодический характер. По медленным перемен­ным коэффициенты предполагаются ограниченными; аналогичное предполо­жение делается и для некоторых производных коэффициентов. В диссертации строится усреднённый оператор и получена первая поправка в асимптотиче­ском разложении для резольвенты возмущённого оператора. Эта асимптотика построена для всех значений спектрального параметра, лежащих вне спектра усреднённого оператора. Асимптотика получена для резольвенты как для опе­ратора в L2, а также как для оператора из L2 в W21. Помимо асимптотики ре­зольвенты строятся полные асимптотические разложения собственных значе­ний возмущённого оператора, сходящихся к изолированным собственным зна­чениям усреднённого оператора, а также полные асимптотические разложе­ния соответствующих собственных функций. Помимо упомянутых собствен­ных значений возмущённый оператор может иметь и собственные значения, сходящиеся к краям существенного спектра. Данный эффект демонстрирует­ся на примере одномерного оператора дивергентного типа в предположении, что быстрые осцилляции коэффициентов сосредоточены на конечной части пространства. Доказывается критерий существования собственного значения, сходящегося к краю существенного спектра. В случае существования для него и для соответствующей собственной функции строятся полные асимптотиче­ские разложения.
  6. Методика исследования. В задачах о паре квантовых волноводов основ­ные результаты получены на основе анализа поведения резольвенты в окрест­ности края существенного спектра. Данный анализ проводился путем анали­тического продолжения по спектральному параметру. Также была использо­вана методика, предложенная недавно Гадыльшиным Р.Р., которую уместно считать модификацией метода Бирмана-Швингера. Кроме того, были исполь­зованы принцип минимакса, метод вилки Дирихле-Неймана, и ряд методик теории дифференциальных уравнений в частных производных.
  7. Для исследования задач с разбегающимися возмущениями была разрабо­тана новая оригинальная схема. Основная ценность этой методики в том, что она позволяет свести задачу с несколькими разбегающимися возмущениями к малому регулярному возмущению прямой суммы резольвент операторов с одним возмущением, другими словами, расщепить разбегающиеся возмуще­ния. Подобное расщепление было основной трудностью при изучении данного класса задач и данная методика успешно решает этот ключевой момент. В диссертации она была использована для изучения асимптотического поведе­ния спектра, при этом она комбинировалась с вышеупомянутом модифициро­ванным методом Бирмана-Швингера. Отметим также, что общность подхода позволяет использовать его и при изучении других вопросов, связанных с раз­бегающимися возмущениями.
  8. Для исследования спектра одномерного оператора с малым локализован­ным возмущением применяются различные методы спектральной теории не­ограниченных операторов, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также модифицированный метод Бирмана-Швингера, упомяну­тый выше. Также активно использовалось аналитическое продолжение ре­зольвенты по спектральному параметру. Методы спектральной теории неогра­ниченных операторов использовались в основном для установления общих ка­чественных свойств спектра. Модифицированный метод Бирмана-Швингера и аналитическое продолжение резольвенты применялись для описания асимп­тотического поведения спектра.
  9. Для получения асимптотик резольвенты матричных операторов с быст­ро меняющимися коэффициентами использовалась техника, предложенная недавно В.В. Жиковым. Асимптотические разложения собственных значе­ний и собственных функций формально строились на основе метода многих масштабов. Обоснование этих асимптотик проводилось достаточно стандарт­ным образом, на основе анализа полюсов резольвенты возмущённого опера­тора в окрестности предельного собственного значения. Для исследования собственных значений в окрестности края существенного спектра в одномер­ном случае дополнительно использовалось аналитическое продолжение ре­зольвенты усреднённого оператора в комбинации с модифицированным ме­тодом Бирмана-Швингера.
Список опубликованных работ
[1] Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, со¬единённых окном // Мат. сб. – 2006. – Т. 197. № 4. – С. 3-32.

[2] Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре оператора Шрёдингера с быстро осциллирующим финитным потенциалом // Теор. мат. физ. 2006. Т. 147. № 1. С. 58-63.

[3] Борисов Д.И. О спектре оператора Шрёдингера, возмущённого быстро осциллирующим потенциалом // Проб. мат. анализа. – 2006. – Т. 33 – С. 13-76.

[4] Борисов Д.И. Асимптотики спектра оператора Шрёдингера, возмущённо¬го быстро осциллирующим периодическим потенциалом // Доклады АН. – 2006. – Т. 406. № 2. – С. 151-155.

[5] Борисов Д.И. О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор. мат. физ. – 2007. – Т. 151. – № 2. – С. 207-218.

[6] Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. Cпектр периодического оператора с ма¬лым локализованным возмущением // Доклады АН. – 2007. – Т. 413. № 4. – С. 439-443.

[7] Борисов Д.И. Асимптотики собственных значений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Труды ИММ УрО РАН. – 2007. – Т. 13. № 2. – C. 33-42.

[8] Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Мат. сб. – 2007. – Т. 198. № 8. – C. 3-34.

[9] Борисов Д.И. Асимптотики для решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Алгебра и анализ. – 2008. – Т. 20. № 2. – С. 19-42.

[10] Borisov D., Exner P., and Gadyl’shin R. Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip // J. Math. Phys. – 2002. – V. 43. № 12. – P. 6265-6278.

[11] Borisov D., Ekholm T., and Kovaˇr´ık H. Spectrum of the magnetic Schr¨odinger operator in a waveguide with combined boundary conditions // Ann. H. Poincar´e. – 2005. – V. 6. № 2. – P. 327-342.

[12] Borisov D. and Exner P. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // J. Phys. A. 2004. – V. 37. № 10. – P. 3411-3428.

[13] Borisov D. and Exner P. Distant perturbation asymptotics in window-coupled waveguides. I. The non-threshold case // J. Math. Phys. – 2006. – V. 47. № 11. – P. 113502-1 – 113502-24.

[14] Borisov D. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Ann. H. Poincar´e. – 2007. – V. 8. № 7. – P. 1371-1399.

[15] Borisov D. On the spectrum of two quantum layers coupled by a window // J. Phys. A. – 2007. – V. 40. № 19. – P. 5045-5066.

[16] Borisov D. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Math. Phys. Anal. Geom. – 2007. – V. 10. № 2. – P. 155-196.