Научная тема: «КВАНТОВЫЙ МЕТОД СПЕКТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ»
Специальность: 01.01.04
Год: 2010
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Новизна главным образом связана с конструкцией центрального объекта работы - квантовой спектральной кривой модели. Развитие теории кванто­вых интегрируемых систем в рамках КМОЗ не позволило существенно про­двинуться в задаче описания решений квантовых интегрируемых систем на конечном масштабе. Благодаря введению понятия квантовой спектральной кривой в работе строится семейство геометрических симметрии множества решений квантовой задачи. Для построения этих симметрии использует­ся традиционный метод анзаца Бете в альтернативной формулировке, а именно в терминах семейства специальных Фуксовых операторов с конеч­ной монодромией. Такое описание квантовой задачи позволяет реализовать симметрии в терминах известных в теории изомонодромных деформаций преобразований Шлезингера [23] и применять известные решения уравне­ний изомонодромных деформаций, типа уравнений Пенлеве, для описания вариаций спектров квантовых систем при изменении параметров. В опреде­ленном смысле построенное семейство симметрии представляет собой ана­лог отображения Абеля, являющегося универсальным решением в теории классических интегрируемых систем.
  2. Следует отметить, что постановка задачи нахождения аналога мето­да спектральной кривой в квантовом случае является новой, КМОЗ огра­ничивался обобщениями алгебраической теории интегрируемых систем, в то время как квантовый метод спектральной кривой обобщает некоторые алгебро-геометрические методы теории интегрируемых систем.
  3. Новыми результатами являются также: явное построение центра уни­версальной обертывающей аффинной алгебры Ли Ucrit(sin) на критическом уровне, и, как следствие, более эффективное описание геометрического соответствия Ленглендса над С на формальном диске с проколом. Кро­ме этого, получено обобщение тождества Гамильтона-Кэли для квантового оператора Лакса рациональной системы Годена.
Список опубликованных работ
[SI] Talalaev D., Universal R-matrix formalism for the spin Calogero-Moser system and its difference counterparty IMRN 2000, No. 11.

[S2] Талалаев Д., Эллиптическая система Годена со спином*, Теоретиче-ская и Математическая Физика (ТМФ), 2002, 130:3, 426-441.

[S3] Талалаев Д., Червов А., Система Хитчина на особых кривых, Тео-ретическая и Математическая Физика (ТМФ), 2004, 140:2, 179-215.

[S4] Chervov A., Talalaev D., Hitchin systems on singular curves II. Gluing subschemes, Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys.4:751-787,2007.

[S5] Талалаев Д., Квантовая система Годена, Функциональный Анализ и его приложения 40 No. 1 pp.86-91 (2006).

[S6] Талалаев Д., Червов А., Уравнение КЗ, G-оперы, квантовая редукция Дринфелъда-Соколова и квантовое тождество Гамильтона-Кэлц За-писки Научных семинаров ПОМИ, Выпуск 360, «Теория представле-ний, Динамические системы, Комбинаторные методы. Часть 16», стр. 246-260.

[S7] Babelon О., Talalaev D., On the Bethe Ansatz for the Jaynes-Cummings-Gaudin model, J. Stat. Mech. (2007) P06013.

[S8] Талалаев Д., Анзац Бете и изомонодромные преобразования, Теоре-тическая и математическая физика, ТМФ, 2009, том 159, номер 2, стр. 252-265.

[S9] Rubtsov V., Silantiev A., Talalaev D., Manin Matrices, Quantum Elliptic Commutative Families and Char-acteristic Folynomial of Elliptic Gaudin model, SIGMA 5 (2009), 110-131.