- Получена полная классификация аффинных однородных пространств сложности один полу простых алгебраических групп. Этот результат завершает классификацию аффинных однородных пространств редуктивных групп малой сложности и подтверждает предположение, высказанное Э.Б. Винбергом в 1986 г. Классифицированы линейные редуктивные группы со сферическими орбитами.
- Получено эффективное описание нормальных стягиваний аффинных сферических многообразий, дана характеризация тотальных пространств таких стягиваний.
- Найдены все аффинные однородные пространства редуктивной группы, каждое аффинное вложение которых содержит конечное число орбит (совм. с Д.А. Ти-машевым); вычислено максимальное значение модальности по всем аффинным вложениям аффинного однородного пространства.
- Решена задача классификации аффинных G-алгебр, в которых каждая инвариантная подалгебра конечно порождена.
- Доказана стабильность диагонального действия полупростой группы G на декартовой степени Хт аффинного G-многообразия Х при достаточно больших значениях т. Найдены все простые и полупростые неприводимые подгруппы простой группы G, которые стабильно действуют на главном аффинном однородном пространстве группы G.
- Исследован новый инвариант алгебраического многообразия - кольцо Кокса. Доказана однородная факториальность колец Кокса, вычислено кольцо Кокса однородного пространства алгебраической группы, найдены примеры колец Кокса, не являющихся факториальными.
- Развит новый метод применения колец Кокса в теории алгебраических групп преобразований. Этот метод использован при решении одной из центральных задач геометрической теории инвариантов: задачи описания открытых инвариантных подмножеств, допускающих хороший фактор. Для действия редуктив-ной группы на многообразии с конечно порожденным кольцом Кокса описаны такие подмножества с квазипроективным и А2-факторпространством, доказана конечность числа максимальных подмножеств с этими свойствами, найдена реализация Кокса глубоких GIT-факторов. Эти результаты позволяют вычислять важные геометрические характеристики факторпространств в комбинаторных терминах.
- Решена задача комбинаторного описания вложений с малой границей для однородных пространств алгебраических групп; описаны проективные вложения с малой границей, доказана теорема конечности для таких вложений. Эти результаты основаны на предложенном диссертантом методе редукции к аффинному каноническому вложению.
- Решена известная задача комбинаторной и геометрической характеризации сюръ-ективности отображения умножения на однородных компонентах мультиградуи-рованной алгебры. Эти результаты дают ответ на вопрос, поставленный Т. Ода в 1997 г.
[2] И.В. Аржанцев, О модальности и сложности аффинных вложений. Математический сборник 192 (2001), № 8, 47-52.
[3] И.В. Аржанцев, О стабильности диагональных действий. Математи-ческие заметки 71 (2002), № 6, 803-806.
[4] И.В. Аржанцев, О факториальности колец Кокса. Математические заметки 85 (2009), № 5, 643-651.
[5] И.В. Аржанцев, Проективные вложения однородных пространств с малой границей. Известия РАН. Серия математическая 73 (2009), № 3, 5-22.
[6] И.В. Аржанцев, С.А. Гайфуллин, Кольца Кокса, полугруппы и авто¬морфизмы аффинных многообразий. Математический сборник 201 (2010), № 1, 3-24. (Диссертанту принадлежат результаты парагра¬фов 2, 3 и 5.)
[7] И.В. Аржанцев, О.В. Чувашова, Классификация аффинных одно-родных пространств сложности один. Математический сборник 195 (2004), № 6, 3-20. (Диссертанту принадлежит метод классификации и теорема 3, О.В. Чувашова проводила вычисления в рамках пред-ложенного метода.)
[8] I.V. Arzhantsev, On stability of subgroup actions on certain quasihomogeneous G-varieties. Journal of Lie Theory 10 (2000), no. 2, 345-357.
[9] I.V. Arzhantsev, A classification of reductive linear groups with spherical orbits. Journal of Lie Theory 12 (2002), no. 1, 289-299.
[10] I.V. Arzhantsev, Algebras with finitely generated invariant subalgebras. Annales de L´Institut Fourier 53 (2003), no. 2, 379-398.
[11] I.V. Arzhantsev, Invariant ideals and Matsushima´s criterion. Communications in Algebra 36 (2008), no. 12, 4368-4374.
[12] I.V. Arzhantsev, S.A. Gaifullin, Homogeneous toric varieties. Journal of Lie Theory 20 (2010), no. 2, 283-293. (Диссертанту принадлежит по-становка задачи; основной результат, теорема 1.1, получен авторами совместно.)
[13] I.V. Arzhantsev, J. Hausen, On embeddings of homogeneous spaces with small boundary. Journal of Algebra 304 (2006), no. 2, 950-988. (Диссер¬танту принадлежат результаты параграфа 4; результаты параграфов 2, 3 и 5 получены авторами совместно.)
[14] I.V. Arzhantsev, J. Hausen, On the multiplication map of a multigraded algebra. Mathematical Research Letters 14 (2007), no. 1, 129-136. (Дис-сертанту принадлежит пример 1.2; теоремы 1.1 и 1. 5 получены ав-торами совместно.)
[15] I.V. Arzhantsev, J. Hausen, Geometric Invariant Theory via Cox Rings. Journal of Pure and Applied Algebra 213 (2009), no. 1, 154-172. (Дис-сертанту принадлежат результаты параграфов 5 и 6; результаты па-раграфов 3, 4, 7 и 8 получены авторами совместно.)
[16] I.V. Arzhantsev, D.A. Timashev, Affine embeddings with a finite number of orbits. Transformation Groups 6 (2001), no. 2, 101-110. (Диссертан¬ту принадлежит формулировка основного результата работы, тео¬ремы 3, и теорема 4; доказательство теоремы 3 получено авторами совместно.)
[17] I.V. Arzhantsev, Affine embeddings of homogeneous spaces. In: "Surveys in Geometry and Number Theory" (N. Young, Editor), LMS Lecture Notes Series 338, Cambridge University Press (2007), 1-51.
[18] И.В. Аржанцев, Н.А. Теннова, Об аффинно замкнутых однород¬ных пространствах. "Современная математика и ее приложения" 14 (2004) (том посвящен 70-летию В.Н. Латышева), 121-127; English transl.: Journal of Mathematical Sciences 131 (2005), no. 6, 6133-6139. (Диссертанту принадлежит постановка задачи и теорема 3, теорема 2 получена авторами совместно.)
[19] I.V. Arzhantsev, D.A. Timashev, On the canonical embeddings of certain homogeneous spaces. In: "Lie Groups and Invariant Theory: A.L. Onishchik´s jubilee volume" (E.B. Vinberg, Editor), AMS Translations, Series 2, vol. 213 (2005), 63-83. (Диссертанту принад-лежат результаты параграфа 2.)