- Алгебраическая характеризация симплициальных частично упорядоченных множеств (симплициально-клеточных комплексов) Коэна-Маколея в терминах их колец граней, что даёт полный ответ на вопрос, рассмотренный Стенли в 1991 г.
- Реализация момент-угол-многообразия Zp, соответствующего простому многограннику P, в виде полного пересечения вещественных квадратичных гиперповерхностей в комплексном пространстве. В случае многогранников Дельзанта это даёт описание поверхности уровня отображения моментов, рассматриваемого в симплектической и торической геометрии. В качестве следствия доказано существование канонической эквивариантной гладкой структуры на момент-угол-многообразии, и получена явная тривиализация его нормального расслоения.
- На основе конструкции момент-угол-многообразия предложен новый подход к комбинаторному описанию квазиторических многообразий, аналогичный известной конструкции торических многообразий из вееров. Квазиторические многообразия соответствуют «комбинаторным квазиторическим парам» (P,Л), состоящим из ориентированного комбинаторного простого многогранника P и целочисленной матрицы Л специального вида. В терминах этих комбинаторных данных явно описаны и вычислены многие топологические инварианты квазиторических многообразий и действий тора на них: эквивариантные стабильно комплексные структуры, веса и знаки неподвижных точек действия тора, роды Хирцебруха.
- Предложена новая конструкция эквивариантной связной суммы квазиторических многообразий, которая привела к следующему результату: в каждом классе комплексных кобордизмов содержится квазиторический представитель. Это даёт решение торического аналога известной проблемы Хирцебруха.
- Построена когомологическая теория локально стандартных действий тора на многообразиях. Доказано, что пространство орбит такого действия является гране-ацикличным многообразием с углами тогда и только тогда, когда когомологии многообразия обращаются в нуль в нечётных размерностях. Доказано, что пространство орбит является гомологическим многогранником только тогда, когда кольцо когомологий многообразия порождается двумерными классами.
- Вычислены кольца когомологий момент-угол-комплексов Zk . Дано описание этого кольца когомологий как алгебраических когомологий (Tor-алгебры) кольца граней Z[K] симплициального комплекса, а также в терминах симплициальных когомологий полных подкомплексов в K. Этот результат привёл к топологической интерпретации важнейших алгебраических инвариантов симплициального комплекса K - биградуированных чисел Бетти его кольца граней.
- Построена гомотопическая эквивалентность (эквивариантная деформационная ретракция) дополнения конфигурации комплексных координатных подпространств на соответствующий момент-угол-комплекс. В качестве следствия получено решение широко известной задачи о вычислении колец когомологий дополнений таких конфигураций подпространств.
- Доказано, что момент-угол-комплекс для действия алгебраического тора на специальных квазиаффинных многообразиях является множеством Кемпфа-Несс. Этот результат открывает новые взаимосвязи между торической топологией и геометрической теорией инвариантов.
[2] V. Buchstaber and T. Panov. Torus Actions and Their Applications in Topology and Combinatorics. University Lecture Series 24. Amer. Math. Soc. Providence, R.I., 2002, 152 pp.
[3] И. В. Баскаков, В. М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Алгебры клеточных коцепей и действия торов. Успехи Мат. Наук 59 (2004), вып. 3, стр. 159-160.
[4] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Алгебраическая топология многообразий, определяемых просты¬ми многогранниками. Успехи Мат. Наук 53 (1998), вып. 3, стр. 195-196.
[5] В. М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Действия тора и комбинаторика многогранников. Труды Ма-тем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 225 (1999), стр. 96-131.
[6] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора, комбинаторная топология и гомологическая алгебра. Успехи Мат. Наук 55 (2000), вып. 5, стр. 3-106.
[7] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Момент-угол комплексы и комбинаторика симплициальных многообразий. Успехи Мат. Наук 55 (2000), вып. 3, стр. 171-172.
[8] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора, эквивариантные момент-угол-комплексы и конфигурации координатных подпространств. Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Матем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 266 (2000), стр. 29-50.
[9] В. М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Комбинаторика симплициально клеточных комплексов и то-рические действия. Труды Матем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 247 (2004), стр. 41-58.
[10] М. Масуда, Т. Е. Панов. Полусвободные действия окружности, башни Ботта и квазиториче- ские многообразия. Мат. Сборник 199 (2008), вып. 8, стр. 95-122.
[11] Т.Е. Панов. Эллиптический род для многообразий с действием группы Z/p. Успехи мат. на¬ук 52 (1997), вып. 2, стр. 181-182.
[12] Т. Е. Панов. Классификация с точностью до кобордизма многообразий, несущих простое дей¬ствие группы Z/p. Мат. заметки 63 (1998), вып. 2, стр. 260-268.
[13] Т. Е. Панов. Вычисление родов Хирцебруха многообразий, несущих действие группы Z/p через инварианты действия. Известия РАН, сер. матем. 62 (1998), вып. 3, стр. 87-120.
[14] Т.Е. Панов. Комбинаторные формулы для ху-рода полиориентированного квазиторического многообразия. Успехи Мат. Наук 54 (1999), вып. 5, стр. 169-170.
[15] Т. Е. Панов. Роды Хирцебруха многообразий с действием тора. Известия РАН, сер. матем. 65 (2001), вып. 3, стр. 123-138.
[16] Т. Е. Панов. Торические множества типа Кемпфа-Несс. Труды Матем. Инст. им. В. А. Стек¬лова, т. 263 (2008), стр. 159-172.
[17] V. Buchstaber and T. Panov. Torus actions determined by simple polytopes. Contemp. Math., vol. 258, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 2000, pp. 33-46.
[18] V. Buchstaber, T. Panov and N. Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds. Moscow Math. J. 7 (2007), no. 2, 219-242.
[19] H. Maeda, M. Masuda and T. Panov. Torus graphs and simplicial posets. Advances in Math. 212 (2007), no. 2, 458-483.
[20] M. Masuda and T. Panov. On the cohomology of torus manifolds. Osaka J. Math. 43 (2006), 711-746.
[21] T. Panov. Cohomology offace rings, and torus actions, in "Surveys in Contemporary Mathematics". London Math. Soc. Lecture Note Series, vol. 347, Cambridge, U.K., 2008, pp. 165-201.
[22] T. Panov and N. Ray. Categorical aspects oftoric topology , in: "Toric Topology" (M. Harada et al, eds.). Contemp. Math., vol. 460, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, pp. 293-322.
[23] T. Panov, N. Ray and R. Vogt. Colimits, Stanley-Reiner algebras, and loop spaces. Progress in Math., vol. 215, Birkhauser, Basel, 2004, pp. 261-291.