- Для квантовых гамильтонианов, являющихся возмущениями системы невзаимодействующих спинов на решетке, введено понятие относительной ограниченности возмущения в смысле квадратичных форм. В предположении наличия у свободного гамильтониана спектрально изолированного основного состояния, для моделей, обладающих вышеуказанным свойством, доказано наличие спектральной щели и экспоненциальное убывание корреляций.
- Показано, что модель AKLT может быть представлена в виде такого относительно ограниченного возмущения свободного гамильтониана. Как следствие, доказано, что малые возмущения модели AKLT сохраняют спектральную щель и экспоненциальное убывание корреляций в основном состоянии.
- Для слабовзаимодействующей спиновой решетчатой системы в конечном объеме доказано, что различные состояния, удовлетворяющие алгебраическому условию локальной стабильности, экспоненциально сближаются по мере удаления от границы объема. Как следствие, доказана сильная единственность основного состояния в термодинамическом пределе.
- Для SO(3)-инвариантных возмущений модели AKLT предложено новое представление статсуммы в виде разложения по траекториям. Предложено точно решаемое приближение к модели AKLT, отвечающее "минимальным" траекториям, решение которого объясняет численно обнаруженный ранее эффект перехода между "соизмеримой" и "несоизмеримой" фазами. Кроме того, предложена естественная "блочная" модификация модели AKLT, для которой строго доказано, что отвечающие минимальным траекториям члены доминирует все остальные члены и, как следствие, строго доказан вышеуказанный эффект.
- Для слабовзаимодействующих спиновых стохастических динамик сформулированы общие предположения, на основе которых в спектре генератора доказано существование "многочастичных возбуждений". Показано, что ряд рассмотренных ранее другими авторами моделей (глауберова динамика, стохастическая модель ротаторов и т.д.) удовлетворяет данным предположениям.
Часть II:
- Для одномерного гауссовского случайного процесса с экспоненциально убывающей спектральной плотностью получены новые верхние и нижние оценки апостериорной дисперсии при фиксации процесса в конечном числе точек. С помощью полученных оценок построен пример задачи, в которой оптимизация с помощью "ожидаемого улучшения" не достигает глобального оптимума.
- Для одномерной интерполяции экспоненциальными и гауссовскими функциями получены явные интегральные формулы ошибки интерполяции на основе формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера, обобщающие классическую формулу ошибки для полиномиальной интерполяции. С помощью полученных формул дано единообразное доказательство сходимости полиномиальной, экспоненциальной и гауссовской интерполяции для функций, аналитических в достаточно большом круге. Как следствие, для таких целевых функций доказана экспоненциально быстрая сходимость к глобальному оптимуму оптимизации с помощью "ожидаемого улучшения" на основе гауссовского ядра.
Часть III:
- Для одномерного локально неоднородного случайного блуждания выявлена связь структуры инвариантных векторов как прямого, так и сопряженного стохастического оператора блуждания с параметром предельного диффузионного процесса с "эластичным экраном в нуле".
2. Яроцкий Д. А. Центральная предельная теорема для одного класса неоднородных случайных блужданий // Математические заметки. 2001. Т. 69, № 5. С. 751-757.
3. Яроцкий Д. А. Теория Пирогова-Синая для относительно ограниченных квантовых возмущений классических решетчатых моделей // УМН. 2006. Т. 61, № 2. С. 371-372.
4. Yarotsky D. A. ‘Free’ Evolution of Multi-particle Excitations in the Glauber Dynamics at High Temperature // J. Stat. Phys. 2001. Vol. 104, no. 5-6. P. 1091–1111.
5. Yarotsky D. A. Perturbations of Ground States in Weakly Interacting Quantum Spin Systems // J. Math. Phys. 2004. Vol. 45. P. 2134–2152.
6. Yarotsky D. A. Scattering of Quasi-particle Excitations in Weakly Coupled Stochastic Lattice Spin Systems // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 249, no. 5-6. P. 449–474.
7. Yarotsky D. A. Uniqueness of the ground state in weak perturbations of non-interacting gapped quantum lattice systems // J. Stat. Phys. 2005. Vol. 118. P. 119–144.
8. Yarotsky D. A. Ground states in relatively bounded quantum perturbations of classical lattice systems // Commun. Math. Phys. 2006. Vol. 261. P. 799– 819.
9. Yarotsky D. A. Random walk analysis of the commensurate-incommensurate transition in the isotropic spin-1 chain // J. Stat. Phys. 2008. Vol. 130. P. 957–981.
10. Yarotsky D. A. Examples of inconsistency in optimization by expected improvement // J. Glob. Opt. 2013. Vol. 56, no. 4. P. 1773–1790.
11. Yarotsky D. A. Univariate interpolation by exponential functions and gaussian RBFs for generic sets of nodes // J. Approx. Theory. 2013. Vol. 166. P. 163–175.