- Продемонстрирована возможность разрушения глобальных по времени слабых решений уравнения Гамильтона-Якоби в ограниченном, но быстро меняющемся силовом поле в неограниченном пространстве. Показано, что данное явление связано с неограниченностью скорости односторонних минимизирующих траекторий.
- Установлено существование и дан критерий единственности обобщенных решений одномерного уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом в случае периодической внешней силы (частный вариант «слабой теории КАМ»). Предложен подход к задаче Монжа-Канторовича на окружности, основанный на конструкциях слабой теории КАМ, и основанный на нем эффективный численный алгоритм транспортной оптимизации.
- Методом исчезающей вязкости обосновано лагранжево представление динамики частиц для многомерного уравнения Гамильтона-Якоби и системы уравнений одномерного пылевидного вещества с абсолютно неупругими столкновениями. Показано, что предельные траектории частиц в обобщенных решениях уравнения Гамильтона-Якоби односторонне дифференцируемы, а их скорости удовлетворяют условию допустимости и минимизируют некоторый выпуклый функционал. Предложено пертурбативное разложение для высших односторонних производных предельных траекторий по времени, позволяющиее при некоторых дополнительных предположениях установить единственность таких траекторий.
- Показано, что динамика пылевидного вещества с абсолютно неупругими столкновениями в лагранжевом представлении в одномерной ситуации может быть описана как диссипативное движение по инерции в выпуклом множестве допустимых конфигураций сплошной среды, вложенном как выпуклое подмножество в подходящее гильбертово пространство. Установлена эквивалентность этого представления с конструкцией «обобщенного вариационного принципа», предлагавшейся ранее в работах других авторов.
- Предложен вариационный метод численной реконструкции поля смещений элементов массы, возникающего в процессе развития нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии, исходя из данных наблюдений современного распределения масс на расстояниях порядка сотен мегапарсек. Метод основан на решении транспортной задачи Монжа-Канторовича (минимизации среднего квадрата смещения). Результаты, получаемые этим методом для пекулярных скоростей, точно согласуются с космологической теорией возмущений в первом порядке (приближение Зельдовича), а для смещений - в первом и втором порядках. При тестировании на данных прямого численного моделирования космологической эволюции продемонстрирована относительно высокая, по сравнению с существующими аналогами, точность восстановления поля смещений.
2.Sobolevski˘ı A. N. Aubry–Mather theory and idempotent eigenfunctions of Bellman operator // Commun. Contemp. Math. 1999. Vol. 1, no. 4. Pp. 517–533.
3.Frisch U., Matarrese S., Mohayaee R., Sobolevski A. A reconstruction of the initial conditions of the Universe by optimal mass transportation // Nature. 2002. Vol. 417. Pp. 260–262.
4.Brenier Y., Frisch U., H´enon M. et al. Reconstruction of the early Universe as a convex optimization problem // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2003. — December. Vol. 346, no. 2. Pp. 501–524.
5.Mohayaee R., Frisch U., Matarrese S., Sobolevskii A. Back to the primordial Universe by a Monge–Amp`ere–Kantorovich optimization scheme // Astronomy & Astrophysics. 2003. Vol. 406. Pp. 393–401.
6.Khanin K., Khmelev D., Sobolevski˘ı A. On the velocities of Lagrangian min-imizers // Mosc. Math. J. 2005. Vol. 5, no. 1. Pp. 157–169.
7.Андриевский А. А., Гурбатов С. Н., Соболевский А. Н. Баллистическая агрегация в симметричных и несимметричных течениях // ЖЭТФ. 2007. Т. 131, № 6. С. 1018–1029.
8.Курносов А. А., Соболевский А. Н. Вариационный подход к восстановлению пекулярных скоростей галактик // Вестник МГУ, сер. 3. Физика, астрономия. 2007. № 3. С. 18–21.
9.Delon J., Salomon J., Sobolevski A. Fast Transport Optimization for Monge Costs on the Circle // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2010. Vol. 70, no. 7. Pp. 2239–2258.
10.Соболевский А. Н., Фриш У. Применение теории оптимального транспорта к реконструкции ранней Вселенной // Теория представлений, динамические системы. XI. Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 312. СПб: ПОМИ РАН, 2004. С. 303–309.
11.Khanin K., Khmelev D., Sobolevski˘ı A. A blow-up phenomenon in the Hamil-ton-Jacobi equation in an unbounded domain // Idempotent Mathematics and Mathematical Physics / Ed. by G. L. Litvinov, V. P. Maslov; Erwin Schr¨odinger Institute. Contemporary Mathematics. Vol. 377. Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. Pp. 161–179.
12.Mohayaee R., Sobolevskii A. The Monge–Amp`ere–Kantorovich approach to reconstruction in cosmology // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. Vol. 237, no. 14–17. Pp. 2145–2150.
13.Khanin K., Sobolevski A. Particle dynamics inside shocks in Hamilton–Jacobi equations // Phil. Trans. R. Soc. A. 2010. Vol. 168, no. 1916. Pp. 1579–1593.