Научная тема: «КАТЕГОРНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВЫСШИХ АДЕЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ»
Специальность: 01.01.06
Год: 2013
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  • Определены категории Cn, Cnfin, C2a r. Исследованы свойства этих категорий. Доказано, что пространство аделей n-мерной схемы конечного типа над Z является объектом категории Cnfin, а если схема определена над полем, то объектом категории Cn над этим же полем. Определены арифметические адели арифметической поверхности (с учетом слоев над бесконеными точками). Доказано, что пространство арифметических аделей является объектом категории C2a r.
  • Построен гармонический анализ на объектах категории C2 и (в большей общности) на объектах категории C2a r. При помощи коммутативных диаграмм определено (двумерное) преобразование Фурье, изучены прямые и обратные образы и их связь с преобразованием Фурье. Получены двумерные аналоги формул Пуассона. Используя предыдущие результаты о том, что пространство аделей арифметической поверхности над конечным полем является объектом категории C2, из двумерных аналогов формул Пуассона выведена формула Римана-Роха для алгебраической поверхности над конечным полем.
  • Доказано, что коммутатор подъема коммутирующих элементов в центральном расширении группы, действующей на двумерном локальном поле, есть целочисленный символ. Получены некоммутативные законы взаимности для таких символов и описано их применение к гипотетическому двумерному соответствию Ленгленд-са. Определены и описаны основные свойства категорных аналогов представлений основной серии в рамках гипотетического двумерного соответствия Ленглендса.
  • Построены категорные центральные расширения групп, действующих на двумерных локальных полях (или, в большей общности, на объектах категории C2) при помощи группоида Пикара градуированных одномерных векторных пространств. Определен обощен-ный коммутатор от трех коммутирующих элементов группы в категорном центральном расширении и изучены его свойства. Доказано, что в случае элементов из мультипликативной группы двумерного локального поля, этот коммутатор совпадает с двумерным ручным символом. Получены применения этой конструкции к доказательству законов взаимности для двумерных ручных символов на алгебраической поверхности.
Список опубликованных работ
1.Д. В. Осипов, “Центральные расширения и законы взаимности на алгебраических поверхностях”, Матем. сб., 196:10 (2005), 111-136.

2.Denis Osipov, “ Adeles on n-dimensional schemes and categories Cn”, Internat. J. Math., 18:3 (2007), 269-279.

3.Denis V. Osipov, “ n-dimensional local fields and adeles on n-dimensional schemes”, Surveys in contemporary mathematics, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 347, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, 131-164.

4.Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, “ Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей. I”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:5 (2008), 77–140.

5.Denis Osipov, Xinwen Zhu, “ A categorical proof of the Parshin reciprocity laws on algebraic surfaces ”, Algebra & Number Theory, 5:3 (2011), 289 –337.

6.Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, “ Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:4 (2011), 91–164.

7.Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, “ Гармонический анализ и теорема Римана-Роха”, Доклады Академии наук, 441:4 (2011), 444 –448.

8.Д. В. Осипов, “ Неразветвленное двумерное соответствие Легленд-са ”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:4 (2013), 73–102.