Научная тема: «О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА–БИЦАДЗЕ СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ»
Специальность: 01.01.02
Год: 2013
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Впервые получена формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе, когда на радиусах этого сектора наклонные производные с постоянным углом наклона равны нулю. Доказано, что эта формула справедлива, если сумма углов наклона производных не отрицательна, и не справедлива в противоположном случае. Эта формула совпадает с формулой среднего значения А. В. Бицадзе при сумме углов наклона производных равной нулю. Полученная в диссертации формула необходима при применении принципа экстремума для гармонической функции.
  2. Впервые исследована разрешимость краевой задачи для гармонической функции в круговом секторе, когда на дуге сектора задано условие первого рода, а на радиусах сектора наклонные производные равны нулю. Доказано, что такая задача однозначно разрешима, если сумма углов наклона производных неотрицательна. Когда эта сумма меньше нуля, однородная задача имеет нетривиальное решение, а неоднородная задача всегда разрешима при любых данных Дирихле на дуге сектора. Полученные решения выписаны в виде биортогональных рядов. Эти же решения выписаны в виде восьми интегралов типа Коши. Одним из частных случаев этих решений является изящная интегральная формула А. В. Бицадзе. Все результаты справедливы для любой области, которая является образом конформного отображения кругового сектора.
  3. Впервые изучена разрешимость двух задач Трикоми со смешанными краевыми условиями (на одной части границы эллиптической области задано краевое условие первого рода, а на другой - наклонная производная). Для  одной из них доказано существование нетривиального решения однородной задачи при определенном угле наклона производной и однозначная разрешимость неоднородной задачи при других углах. Для сопряженной задачи Трикоми доказано, что в зависимости от угла наклона производной, задача либо условно разрешима, либо однозначно. Решения этих задач выписаны в виде биортогональных рядов.
  4. Впервые рассмотрены задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями и с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. Доказано, что в зависимости от значения параметра склеивания и угла наклона производной задачи либо однозначно разрешимы, либо однородная задача имеет нетривиальное решение и при этом неоднородная всегда разрешима, либо неоднородная задача условно разрешима. Для решений этих задач получены интегральные представления в виде интегралов типа Коши.
  5. Впервые изучены задачи Геллерстедта с условиями склеивания Франк-ля на линии изменения типа уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Доказано, что в зависимости от значений параметров склеивания задачи Геллерстедта либо однозначно разрешимы, либо однородная задача имеет нетривиальное решение и при этом неоднородная всегда разрешима, либо неоднородная задача условно разрешима. Для решений этих задач получены интегральные представления в виде интегралов типа Коши.
Список опубликованных работ
1.Ионкин Н. И., Моисеев Т. Е. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями //ДАН. 2005. Т. 400, № 5. С. 592–595.

2.Моисеев Т. Е. О теоремах единственности решений нелокальных краевых задач для уравнения Лаврентьева–Бицадзе //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 710–712.

3.Моисеев Т. Е. Решение нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона со смешанными краевыми условиями с помощью функции Грина //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1423–1425.

4.Моисеев Т. Е. О решении уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 4. С. 563–566.

5.Моисеев Т. Е. Об одном варианте задачи с наклонной производной //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С. 1434–1436.

6.Моисеев Т. Е. Разрешимость краевых задач с наклонной производной //Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 7. С. 995–997.

7.Моисеев Т. Е. О неединственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа //Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 712–714.

8.Моисеев Т. Е. О разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лав-рентьева–Бицадзе со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 10. С. 1512–1514.

9.Моисеев Т. Е. Формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе //ДАН. 2010. Т. 432, № 5. С. 592–593.

10. Моисеев Т. Е. Об условной разрешимости задачи Трикоми со сме шанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1513–1515.

11.Моисеев Т. Е. Об интегральном представлении решения уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2011. T. 47, № 10. С. 1446–1451.

12.Моисеев Т. Е. Эффективное интегральное предcтавление одной краевой задачи со смешанными краевыми условиями //ДАН. 2012. Т. 444, № 2. С. 150–152.

13.Моисеев Т. Е. О решении задачи Геллерстедта для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1454–1456.

14.Моисеев Т. Е. О разрешимости одного нелокального варианта задачи Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 10. С. 1404–1408.

15.Моисеев Т. Е. О полноте собственных функций одной нелокальной краевой задачи Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 1568–1570.