- Предложено новое представление тензоров - TT-формат, которое может быть построено с помощью быстрых устойчивых алгоритмов на основе сингулярного разложения, и не содержит экспоненциального по размерности числа параметров.
- Получены базовые алгоритмы для работы с массивами в TT-формате: алгоритм перехода от полного массива к ТТ-формату с точностью е (алгоритм TT-SVD), алгоритм округления (приближения) в TT-формате. Доказано, что основные операции линейной алгебры (сложение, поэлементное умножение, умножение матрицы на вектор) можно проводить, оставаясь в рамках TT-формата; для этих операций получены явные формулы.
- Получено многомерное обобщение скелетного разложения - формула TT-интерполяции, которая показывает, что тензор с малыми TT-рангами можно восстановить по небольшому количеству его элементов. На основе этой формулы получен многомерный крестовый метод аппроксимации тензоров.
- Введено понятие тензоризации или QTT-формата, когда исходный массив малой геометрической размерности представляется как массив большей размерности за счет введения виртуальных уровней. Доказаны теоремы о QTT-структуре функций одной переменной, а также о QTT-структуре характеристической функции многомерного симплекса. Показано, что QTT-ранги обратной к ленточной теплицевой матрице не зависят от порядка матрицы.
- Предложен и реализован новый метод сжатия данных с потерями на основе интерпретации QTT-формата как адаптивного вейвлет-преобразования.
- На основе QTT-формата предложен новый быстрый метод решения многопараметрических задач.
- Получены оценки на QTT-ранги полиномиальных потенциальных поверхностей квантовой молекулярной динамики, построен линейный по числу степеней свободы алгоритм приближенного нахождения минимального собственного значения на основе метода DMRG (Density Matrix Renormalization Group).
[2] Оселедец И.В., Тыртышников Е.Е. Приближенное обращение матриц при численном решении гиперсингулярного интегрального уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2005. — Т. 45, № 2. — С. 315-326.
[3] Оселедец И.В. Применение разделенных разностей и B-сплайнов для построения быстрых дискретных преобразований вейвлетовского типа на неравномерных сетках // Матем. заметки. — 2005. — Т. 77, № 5. — С. 743-752.
[4] Оселедец И. В., Савостьянов Д. В. Минимизационные методы аппроксимации тензоров и их сравнение // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. — Т. 46, № 10. — С. 1752-1734.
[5] Оселедец И.В. Оценки снизу для сепарабельных аппроксимаций ядра Гильберта // Матем. сб. — 2007. — Т. 198, № 3. — С. 137-144.
[6] Оселедец И. В. О новом тензорном разложении // ДАН. — 2009. — Т. 427, № 2. — С. 168-169.
[7] Оселедец И. В. О приближении матриц логарифмическим числом параметров // ДАН. — 2009. — Т. 428, № 1. — С. 23-24.
[8] Оселедец И.В., Тыртышников Е.Е. Рекурсивное приближение многомерных тензоров // ДАН. — 2009. — Т. 427, № 1. — С. 14-16.
[9] Замарашкин Н.Л., Оселедец И.В., Тыртышников Е.Е. Тензорная структура обратной к ленточной теплицевой матрице // ДАН. — 2009. — Т. 422, № 2. — С. 168-169.
[10] Olshevsky V., Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. Tensor properties of multilevel Toeplitz and related matrices // Linear Algebra Appl. — 2006. — Vol. 412, no. 1. — P. 1-21.
[11] Oseledets I.V., Tyrtyshnikov E. E. A unifying approach to the construction of circulant preconditioners // Linear Algebra Appl. — 2006. — Vol. 418, no. 2-3. — P. 435-449.
[12] Olshevsky V., Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. Superfast inversion of two-level Toeplitz matrices using Newton iteration and tensor-displacement structure // Operator Theory: Advances and Applications. — 2008. — Vol. 179. — P. 229-240.
[13] Oseledets I. V., Savostianov D. V., Tyrtyshnikov E. E. Tucker dimensionality reduction of three-dimensional arrays in linear time // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2008. — Vol. 30, no. 3. — P. 939-956.
[14] Oseledets I. V. The integral operator with logarithmic kernel has only one positive eigenvalue // Linear Algebra Appl. — 2008. — Vol. 428, no. 7. — P. 1560-1564.
[15] Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E., Zamarashkin N. L. Matrix inversion cases with size-independent rank estimates // Linear Algebra Appl. — 2009. — Vol. 431, no. 5-7. — P. 558-570.
[16] Oseledets I. V., Savostyanov D. V., Tyrtyshnikov E. E. Fast simultaneous orthogonal reduction to triangular matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2009. — Vol. 31, no. 2. — P. 316-330.
[17] Oseledets I. V., Savostyanov D. V., Tyrtyshnikov E. E. Linear algebra for tensor problems // Computing. — 2009. — Vol. 85, no. 3. — P. 169-188.
[18] Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. Breaking the curse of dimensionality, or how to use SVD in many dimensions // SIAM J. Sci. Comput. — 2009. — Vol. 31, no. 5. — P. 3744-3759.
[19] Oseledets I. V., Savostyanov D. V., Tyrtyshnikov E. E. Cross approximation in tensor electron density computations // Numer. Linear Algebra Appl. — 2010. — Vol. 17, no. 6. — P. 935-952.
[20] Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. TT-cross algorithm for the approximation of multidimensional arrays // Linear Algebra Appl. — 2010. — Vol. 432, no. 1. — P. 70-88.
[21] How to find a good submatrix / S.A. Goreinov, I.V. Oseledets, D.V. Savostyanov et al. // Matrix Methods: Theory, Algorithms, Applications / Ed. by V. Olshevsky, E. Tyrtyshnikov. — World Scientific Publishing, 2010. — P. 247-256.
[22] Goreinov S. A., Oseledets I. V., Savostyanov D. V. Wedderburn rank reduction and Krylov subspace method for tensor approximation. Part 1: Tucker case: Preprint 2010-01. — Moscow: INM RAS, 2010. — arXiv:1004.1986. http://pub.inm.ras.ru.
[23] Oseledets I.V. Constructive representation of functions in tensor formats: Preprint 2010-04. — Moscow: INM RAS, 2010. http://pub.inm.ras.ru.
[24] Khoromskij B. N., Oseledets I. V. QTT-approximation of elliptic solution operators in high dimensions // Rus. J. Numer. Anal. Math. Model. — 2011. — Vol. 26, no. 3. — P. 303-322.
[25] Khoromskij B. N., Oseledets I. V. Quantics-TT collocation approximation of parameter-dependent and stochastic elliptic PDEs // Comput. Meth. Ap-pl. Math. — 2010. — Vol. 10, no. 4. — P. 376-394.
[26] Khoromskij B. N., Oseledets I. V. DMRG + QTT approach to high-dimensional quantum molecular dynamics: Preprint 68. — Leipzig: MPI MIS, 2010. www.mis.mpg.de/preprints/2010/preprint2010_68.pdf.
[27] Oseledets I. V. Tyrtyshnikov E.E. Algebraic wavelet transform via quantics tensor train decomposition // SIAM J. Sci. Comput. — 2011. — Vol. 31, no. 3. — P. 1315-1328.
[28] Oseledets I. V. Approximation of 2d x 2d matrices using tensor decomposition // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2010. — Vol. 31, no. 4. — P. 2130-2145.
[29] Tensor structured iterative solution of elliptic problems with jumping coefficients: Preprint 55 / S. Dolgov, B. Khoromskij, I. Oseledets, E. Tyrtyshnikov. — Leipzig: MPI MIS, 2010. www.mis.mpg.de/preprints/2010/ preprint2010_55.pdf.
[30] Oseledets I. V. Tensor-train decomposition // SIAM J. Sci. Comput. — Vol. 33, no. 5. — P. 2295-2317.
[31] Dolgov S. V., Oseledets I. V. Solution of linear systems and matrix inversion in the TT-format: Preprint 19 (Submitted to SIAM J. of Sci. Comput.). — Leipzig: MIS MPI, 2011. http://www.mis.mpg.de/preprints/2011/ preprint2011_19.pdf.
[32] Oseledets I. V. DMRG approach to fast linear algebra in the TT-format // Comput. Meth. Appl. Math. — 2011. — Vol. 10, no. 3. — P. 382-393.